Relativización con respecto a los oráculos no recursivos

En el artículo Relativizaciones de la P =? Pregunta NP , Baker et al. demostró que existen mundos relativizados en los que se mantiene P = NP o P ≠ NP. Todos los oráculos en su configuración eran conjuntos recursivos.

En otro artículo relativo a un Oráculo aleatorio , P A ≠ N P A ≠ co- N P A con Probabilidad $A$${\bf P}^A \ne {\bf NP}^A \ne \text{co-}{\bf NP}^A$$1$ , Bennett y Gill propusieron la noción de oráculos aleatorios, que casi seguramente son conjuntos no recursivos. (Ver los comentarios a continuación).

No estaba al tanto de ninguna otra relativización no recursiva, a menos que se me ocurriera una (vea esta pregunta y la respuesta de Joshua).

¿Cuáles son las implicaciones de las relativizaciones no recursivas? ¿Cómo son útiles en la teoría de la complejidad estructural?

(1) Lance Fortnow y Scott Aaronson (Sección 1.3) dan buenas discusiones sobre el papel de los oráculos / relativización en general, y creo que la mayoría, si no todos, de sus comentarios siguen siendo válidos independientemente de si el oráculo es computable o no.

Por otro lado, al pensar en las separaciones de oráculo como separaciones de complejidad de consulta (una de las vistas en el artículo de Aaronson), un oráculo no computable proporciona una separación de complejidad de consulta donde la función que se consulta no es computable, lo que significa que la función que se está consultando probablemente no surgió en el mundo real. No obstante, todavía parece una guía potencialmente buena para la investigación.

(2) Desde el punto de vista del artículo de Arora, Impagliazzo y Vazirani , diría que los oráculos no computables están muy lejos del ámbito del "mundo real" de la computación.

(3) Si pensamos en el "mundo computacional relativo a un oráculo" como simplemente otro modelo de computación, entonces, en relación con un oráculo computable, los conjuntos computables en este modelo son, por supuesto, los mismos que el modelo estándar, mientras que en relación con un modelo no -Oráculo computable, hay conjuntos "computables" que no son computables en el modelo estándar. (Esto es completamente trivial, es principalmente un punto de vista filosófico).

(4) De manera similar a los oráculos aleatorios, los oráculos genéricos tienden a no ser computables, aunque imagino que muchas (pero probablemente no todas) las construcciones de oráculos genéricos se pueden adaptar con muy poco trabajo para obtener oráculos computables de ellos. (De hecho, existe una noción de genérico tal que los resultados del oráculo genérico R son lo mismo que los resultados del oráculo aleatorio, por lo que esta es realmente una generalización de la observación sobre los randoms).$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$

No puedo resistirme a enchufar algunos resultados recientes, lo que indica que puede ser interesante considerar el cálculo en relación con el conjunto (no computable) de cadenas aleatorias de Kolmogorov.

Sea el conjunto de cadenas aleatorias de Kolmogorov; es decir, el conjunto de cadenas x tal que K ( x ) es mayor o igual que | x | . (En realidad, cada prefijo "óptimo" de la máquina Turing U proporciona una versión diferente R U de este conjunto; por lo general, no hace mucha diferencia qué U usamos para definir K ; afecta a K ( x ) solo por O ( 1 ) . )$R$$x$$K(x)$$|x|$$U$$R_U$$U$$K$$K(x)$$O(1)$

Buhrman y col. mostró (en CCC 2010) que es poli-tiempo tabla de verdad reducible a R , y el trabajo anterior mostró que P S P A C E está en P R , y Nexp está en N P R .$BPP$$R$$PSPACE$$P^R$$NP^R$

¡Estos pueden parecer resultados bastante inútiles, ya que dan un límite superior no computable en las clases de complejidad! Sin embargo, un artículo reciente (ver http://www.eccc.uni-trier.de/report/2010/138/ ) muestra que es un límite superior en la clase de conjuntos decidibles que son verdad en tiempo polivinílico reducibles a -table R T para cada T . Es decir, P S P A C E se encuentra entre la clase de problemas que son indecidibles Turing y tabla de verdad reducible a R . $PSPACE$$R_U$$U$$PSPACE$$R$

$NP^{R_U}$$U$ $NEXP$