Primer paso, supongamos que el gráfico tiene un número par de vértices. En la segunda etapa, ampliaremos la construcción, de modo que si k es par, entonces mostraremos cómo convertir el gráfico en un número impar de vértices.
La solución es un refinamiento de la idea sugerida en la otra respuesta.
Primera parte
Reclamación: Dado un gráfico G regular con un número par de vértices, se puede calcular un gráfico H que es ( k + 1 ) regular, y H es hamiltoniano si G es hamiltoniano.ksolH( k + 1 )Hsol
ksolsol1sol2v ∈ V( G )v1v2k + 2vv′v 1 v ′ v 2 v ″ C ( v ) vv′ ′v1v′v2v′′. Deje denotar este componente para .C(v)v
Repita esto para todos los vértices de y deje que denote el gráfico resultante.HGH
Claramente, el gráfico es regular. Afirmamos que es hamiltoniano si y solo si es hamiltoniano.k + 1 H GHk+1HG
Una dirección es clara. Teniendo en cuenta un ciclo Hambiltonian en , podemos traducirlo en un ciclo en el . De hecho, cada vez que el ciclo visita un vértice , lo interpretamos como un movimiento de a (o viceversa) mientras visitamos todos los vértices en . Como tal, esto resulta en un ciclo de Hamilton en . (Tenga en cuenta que aquí es donde estamos usando el hecho de que el número original de vértices es par; si el ciclo es impar, esto se rompe).H v v 1 v 2 C ( v ) HGHvv1v2C(v)H
En cuanto a la otra dirección, considere un ciclo de Hamilton en . Debe ser que es visitada por una parte del ciclo que comienza en , visita todos los vértices de y parte de (o la opción simétrica). De hecho, el ciclo hamiltoniano no puede entrar y salir del mismo . Como tal, un ciclo de Hamilton en como una interpretación natural como un ciclo de Hamilton en . QEDC ( v ) v 1 C ( v ) v 2 v i H GHC(v)v1C(v)v2viHG
Segunda parte
Como se señala a continuación por Tsuyoshi, cualquier gráfico de 3 regulares tiene un número par de vértices. Como tal, el problema es difícil para un gráfico regular de con un número par de vértices. Es decir, la reducción anterior muestra que el problema es difícil para cualquier gráfico regular, aunque el gráfico resultante tiene un número par de vértices.k3k
Observamos que esto implica que el siguiente problema es NP-hard.
Problema A: Decidir si un gráfico k-regular con un número par de vértices tiene un ciclo hamiltoniano que atraviesa un borde específico .eGe
Sin embargo, si es incluso entonces dado una instancia podemos reducirlo al problema deseado. De hecho, reemplazamos el borde por una camarilla de vértices, como antes de eliminar un borde en la camarilla, y conectar sus dos puntos finales a los puntos finales de , y eliminar del gráfico. Claramente, para el nuevo gráfico :( G , e ) e k + 1 e e Hk(G,e)ek+1eeH
- kH es -regular.k
- G eH es hamiltoniano si y sólo si es hamiltoniano con un ciclo de uso de .Ge
- | V ( G ) | + k + 1 HH tiene vértices => tiene un número impar de vértices.|V(G)|+k+1H
Tenga en cuenta que un gráfico regular, para impar, debe tener un número par de vértices (solo cuente los bordes). Como tal, no hay gráficos regulares con un número impar de vértices, siendo impar.k k kkkkk
Resultado
NP-Hard es decidir si un gráfico regular tiene un ciclo hamiltoniano para . El problema sigue siendo NP-Hard incluso si el gráfico tiene un número impar de vértices.k ≥ 3kk≥3
Por supuesto, siempre es posible que haya cometido un error estúpido ...
Ejercicio
Si queremos pasar de una gráfica que es regular a una gráfica que es (digamos) regular entonces la gráfica resultante de aplicar la reducción anterior repetidamente da como resultado una gráfica con un tamaño que depende exponencialmente de . Demuestre que, dado un gráfico regular e , se puede construir un gráfico que sea regular y su tamaño sea polinomial en y , donde es el número de vértices de . Además, es hamiltoniano si y solo si es hamiltoniano.2 k k k G i > 2 H ( k + i ) k , i n n G G Hk2kkkGi>2H(k+i)k,innGGH
(Estoy publicando esto como un ejercicio, no como una pregunta, ya que sé cómo resolverlo).