¿

Considere cualquier lenguaje . Defina (una secuencia infinita de bits) mediante la fórmula recursiva $L$ $s(L) \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega$

s (L)_{n} = χ_{L} (s (L)_{< n})

$s(L)_n=\chi_L(s(L)_{<n})$

Aquí es la función característica de es decir, para , para $\chi_L$ $L$ $\chi_L(w)=1$ $w \in L$ $\chi_L(w)=0$ $w \notin L$

Un lenguaje se llama un "predictor universal (cerrado)" cuando $U$

\forall L \in P \forall n >> 0 : s (L)_{n} = χ_{U} (s (L)_{< n})

$\forall L \in \mathsf{P} \, \forall n>>0:s(L)_n=\chi_U(s(L)_{<n})$

Es fácil ver considerando . Sin embargo, puede ser recursivo. Para dar un ejemplo, considere el idioma decidido por el algoritmo siguiente . Dada la entrada , ejecuta todos los programas posibles en orden shortlex, permitiendo que cada uno se ejecute por el tiempo donde es una función del crecimiento superpolinomial. Una vez que alcanza un programa que genera más uno o más bits y no se detiene, genera el primer bit $U \notin \mathsf{P}$ $L = U^c$ $U$ $A$ $w$ $A$ $t(|w|)$ $t$ $R$ $w$ $A$ $R$ salida después de . Es fácil ver que (en condiciones suaves en ) siempre se detiene y el lenguaje que decide es un predictor universal. complejidad de tiempo es de aproximadamente $w$ $t$ $A$ $A's$ $2^nt(n)$

Dado , defina por $a \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega$ $s(L, a)$

s (L, a)_{2 n} = χ_{L} (s (L, a)_{< 2 n})

$s(L, a)_{2n} = \chi_L(s(L, a)_{<2n})$

s (L, a)_{2 n + 1} = a_{n}

$s(L, a)_{2n + 1} = a_n$

Un lenguaje se llama "predictor abierto universal" cuando $V$

incluso $\forall w \in V : |w|$
$\forall L \in \mathsf{P}, a \in {\lbrace 0, 1 \rbrace}^\omega \, \forall n>>0:s(L, a)_{2n}=\chi_V(s(L, a)_{<2n})$

[Estoy usando índices basados en 0 así que ] $|s_{<2n}| = 2n$

Nuevamente, es fácil ver pero puede estar en $V \notin \mathsf{P}$ $V$ $\mathsf{E}$

¿Existe un predictor abierto universal st ? $V$ $\mathsf{P}^V=\mathsf{NP}^V$

Estoy especialmente interesado en tener un ejemplo específico de tal o una prueba de que no existe bajo supuestos razonables como $V$ $V$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$

La pregunta puede parecer extraña, así que resumiré brevemente mi motivación para ello. Estoy interesado en modelos similares a AIXI de inteligencia artificial. Aquí desempeña el papel del medio ambiente, que supongo que ser eficiente computable, y desempeña el papel de las acciones del propio agente. Dado una respuesta positiva a la pregunta, es posible construir un agente eficiente computables en relación con que optimiza una función de utilidad eficiente computable dada eligiendo sus acciones futuras st se maximiza asumiendo se comporta el medio ambiente según la predicción de la $L$ $a$ $V$ $u$ $u$ $V$

— Vanessa
fuente

En términos del punto de vista de la relativización, V = PSPACE funciona.

— Tayfun paga

No estoy familiarizado con la noción de predictor universal, y no seguí todo lo que escribiste; en particular, no seguí su bosquejo de la prueba de existencia de un predictor universal en E. Pero suponiendo que exista un predictor abierto universal que pertenezca a E, la respuesta a su pregunta es positiva. Y me temo que probablemente te decepcionará la razón.

Editar en la revisión 2: cambié la construcción en respuesta a la restricción agregada en la revisión 2 de la pregunta, pero la idea general es la misma: mezclar un lenguaje difícil en un predictor abierto universal de tal manera que la definición de predictor abierto universal No nota la diferencia.

Deje T = {0 ^{| x |}11 x : x ∈ {0,1} ^* }. Tenga en cuenta que cada palabra en T tiene una longitud par. Una propiedad importante de T es que no hay palabra en T es un prefijo apropiado de otra palabra en T . Esto implica que si la diferencia simétrica entre dos lenguajes V y W está contenida en T , entonces para cada secuencia infinita s ∈ {0,1} ^ω , hay como máximo una n tal que χ _V ( s _{<2 n} ) ≠ χ_W ( s _{<2 n} ), y en particular V es un predictor abierto universal si y solo si W es un predictor abierto universal.

Es fácil ver que existe un lenguaje EXPSPACE completa que es un subconjunto de T . Deje L ser tal lenguaje. Deje que V sea un predictor abierto universal que pertenece a E y, por lo tanto, también a EXPSPACE. Definir un idioma W = L ∪ ( V ∖ T ). Como V es un predictor abierto universal y la diferencia simétrica entre V y W está contenida en T , W también es un predictor abierto universal. Es fácil ver que W es EXPSPACE-complete, y por lo tanto P ^W = NP ^W= ESPACIO Esto concluye que W satisface la propiedad deseada.

— Tsuyoshi Ito
fuente

¡Decir ah! Buen punto, pero me atrapaste por un tecnicismo. Corregí la definición para indicar que un predictor abierto universal solo tiene palabras de longitud par. El "predictor universal" es mi propia terminología. El concepto está inspirado en arxiv.org/abs/cs/0606070 pero Legg evita consideraciones de complejidad de tiempo

— Vanessa

@Squark: Hmm, supongo que la idea de mezclar en un lenguaje difícil también funciona con la definición revisada y, por lo tanto, supongo que esto no es solo un tecnicismo, sino que tengo que pensar más.

— Tsuyoshi Ito

@Squark: pensé más. :)

— Tsuyoshi Ito

OK, esto no es un tecnicismo. ¡Gracias!

— Vanessa