Considere una red eléctrica modelada como un gráfico plano G, donde cada borde representa una resistencia de 1Ω. ¿Qué tan rápido podemos calcular la resistencia efectiva exacta entre dos vértices en G? De manera equivalente, ¿qué tan rápido podemos calcular la corriente exacta que fluye a lo largo de cada borde si conectamos una batería de 1V a dos vértices en G?
Las conocidas leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff reducen este problema a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con una variable por borde. Los resultados más recientes, descritos explícitamente por Klein y Randić (1993) pero implícitos en trabajos anteriores de Doyle y Snell (1984) , reducen el problema a la resolución de un sistema lineal con una variable por vértice, que representa el potencial de ese nodo ; La matriz para este sistema lineal es la matriz laplaciana de la gráfica.
De cualquier sistema lineal puede resolverse exactamente en tiempo utilizando disección anidada y separadores planas [ Lipton Rose Tarjan 1979 ]. ¿Es este el algoritmo más rápido conocido?
Los resultados seminales recientes de Spielman, Teng y otros implican que el sistema laplaciano en gráficos arbitrarios puede resolverse aproximadamente en un tiempo casi lineal. Consulte [ Koutis Miller Peng 2010 ] para conocer el mejor tiempo de ejecución actual, y este increíble artículo de Erica Klarreich en la Fundación Simons para obtener una descripción general de alto nivel. Pero estoy específicamente interesado en algoritmos exactos para gráficos planos .
Suponga un modelo de cálculo que admita la aritmética real exacta en tiempo constante.