Gráficos en los que cada separador mínimo es un conjunto independiente

Antecedentes: Sea dos vértices de un gráfico no dirigido . Un conjunto de vértices es un separador si y pertenecen a diferentes componentes conectados de . Si no hay un subconjunto adecuado de -separator es un -separator, entonces es un mínimo -separator. Un conjunto de vértices es un separador (mínimo) si existen vértices modo que sea ​​un separador (mínimo) .$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Un conocido teorema de G. Dirac afirma que un gráfico no tiene ciclos inducidos de longitud de al menos cuatro (llamado gráfico triangulado o cordal) si y solo si cada uno de sus separadores mínimos es una camarilla. También es bien sabido que los gráficos triangulados se pueden reconocer en el tiempo polinomial.

Mis preguntas: ¿Qué son los gráficos en los que cada separador mínimo es un conjunto independiente? ¿Se estudian estos gráficos? ¿Y cuál es la complejidad de reconocimiento de estos gráficos? Los ejemplos de tales gráficos incluyen árboles y ciclos.

Sus gráficos se han caracterizado por este documento http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Editar: en el documento anterior se demuestra que los gráficos en los que cada separador mínimo es un conjunto independiente son exactamente aquellos que no contienen ningún ciclo con exactamente un acorde.

Los gráficos que no contienen ciclo con exactamente un acorde han sido estudiados en profundidad por Trotignon y Vuskovic, Un teorema de estructura para gráficos sin ciclo con un acorde único y sus consecuencias , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . Como resultado de este trabajo, estos gráficos se pueden reconocer en tiempo polinómico. (¡Sin embargo, este documento no señaló la conexión a separadores mínimos independientes!)

Editar (17 de septiembre de 2013): Muy recientemente (ver aquí ), Terry Mckee describe todos los gráficos en los que cada separador mínimo de vértices es una camarilla o un conjunto independiente. Resulta que estas son las '' sumas de borde '' de los gráficos cordales y gráficos en los que cada separador mínimo de vértices es un conjunto independiente.

Aparentemente, la caracterización más temprana de los gráficos en los que cada separador mínimo es un conjunto independiente apareció en TA McKee, "Gráficos separadores independientes", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224. Estos son precisamente los gráficos en los que ningún ciclo tiene un acorde único (o, de manera equivalente, en el que, en cada ciclo, cada acorde tiene un acorde cruzado).

Hay dos nuevos documentos sobre gráficos sin ciclo que tienen exactamente un acorde. Ambos se ocupan principalmente de colorear estos gráficos: http://arxiv.org/abs/1309.2749 y http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

El último también proporciona un algoritmo de reconocimiento de . Pero Trotignon y Vuskovic ya proporcionan un O más rápido en el tiempo ( m n ) (citado en respuesta por el usuario 13136).$O(m^2n)$$O(mn)$