Teorema de Schaefer y CSP de ancho ilimitado

El teorema de la dicotomía de Schaefer muestra que cada problema de CSP sobre puede resolverse en tiempo polinómico o es NP completo. Esto aplica solo para problemas CSP de ancho acotado, excluyendo SAT y Horn-SAT, por ejemplo. Los problemas generales de CSP de ancho ilimitado pueden ser muy difíciles (incluso indiscutibles), así que limitémonos a los problemas que son "naturales" y están en NP.$\{0,1\}$

Dado un problema de CSP de ancho ilimitado, para cada , podemos ver la restricción del problema a las cláusulas de ancho hasta k . El teorema de Schaefer ahora se aplica, y el problema restringido está en P o NP-completo. Si para algunos k , el problema restringido k es NP-completo, entonces también lo es el problema no restringido. La situación es menos clara cuando para todo k , el problema restringido de k está en P.$k$$k$$k$$k$$k$$k$

El teorema de la dicotomía de Schaefer se basa en cuatro (más o menos) algoritmos diferentes que resuelven todos los casos fáciles. Suponga que para un problema CSP dado, el problema restringido siempre se puede resolver mediante el algoritmo A. También podría ser el caso de que el algoritmo A se pueda usar para resolver el problema no restringido también. O podría ser que el algoritmo A no es tiempo polinómico en el caso sin restricciones, y luego ignoramos la dureza del problema.$k$

¿Se ha considerado este tipo de problema? ¿Hay ejemplos en los que llegamos al lugar "ignorante"?

Afirmo que para un "CSP booleano natural", si la versión restringida de k está en P para cada k , entonces la versión no restringida también está en P. Definiré un "CSP booleano natural" a continuación.

El teorema de Schaefer establece que el CSP booleano en un conjunto finito S de relaciones está en P si se cumple al menos una de las siguientes condiciones y es NP-completa si ninguna de ellas se cumple:

1. Cada relación en S (excepto la constante 0) se satisface asignando 1 a todas sus variables.
2. Cada relación en S (excepto la constante 0) se satisface asignando 0 a todas sus variables.
3. Cada relación en S es equivalente a una fórmula 2-CNF.
4. Cada relación en S es equivalente a una fórmula de la cláusula Horn.
5. Cada relación en S es equivalente a una fórmula de doble cláusula Horn. (Una "fórmula de cláusula de doble bocina" significa una fórmula CNF donde cada cláusula contiene como máximo un literal positivo).
6. Toda relación en S es equivalente a una conjunción de cláusulas afines.

Ahora suponga que P ≠ NP, y considere el caso donde S es infinito. Si la versión restringida de k está en P para cada k , entonces, según el teorema de Schaefer, cada subconjunto finito de S satisface al menos una de las seis condiciones anteriores, y esto significa que todo el conjunto S satisface al menos una de las seis condiciones. ¿Significa esto que este CSP sin la restricción de arity también está en P? Aún no.

Cuando S es infinito, tenemos que especificar cómo se da cada cláusula en la fórmula de entrada. Suponemos que hay una cierta asignación de sobreyectiva {0,1} ^* a S , que especifica la codificación de las relaciones en S . Un CSP booleano se especifica dando tanto S como esta función de codificación.

Tenga en cuenta que en cada uno de los casos 3, 4, 5 y 6 anteriores, hay una forma natural de representar las relaciones que satisfacen la condición: una fórmula 2-CNF en el caso 3, una fórmula de la cláusula de Horn en el caso 4, y así sucesivamente. Incluso si una relación es equivalente a (digamos) una fórmula 2-CNF, no hay garantía a priori de que su codificación proporcione un acceso fácil a la fórmula 2-CNF que es equivalente a ella.

Ahora decimos que un CSP booleano es natural cuando su función de codificación satisface lo siguiente:

• Dada una codificación de una relación y una asignación a todas sus variables, si la relación se satisface o no se puede calcular en tiempo polinómico. (Nota: Esto asegura que el CSP en cuestión esté siempre en NP).
• Dada una codificación de una relación que satisface las condiciones 3, 4, 5 o 6, su representación natural como se especifica anteriormente se puede calcular en tiempo polinómico.

Entonces es fácil ver que si S satisface una de las seis condiciones anteriores y la codificación de S satisface esta condición de "naturalidad", entonces podemos aplicar el algoritmo correspondiente. La afirmación que dije al principio se puede probar considerando tanto el caso de P = NP como el caso de P ≠ NP.