Considere un poset finito sobre elementos, y un predicado monotónico desconocido sobre (es decir, para cualquier , , si y luego ) . Puedo evaluar proporcionando un nodo y descubriendo si P (x) se mantiene o no. Mi objetivo es determinar exactamente el conjunto de nodos x \ en X de forma tal que P (x) se mantenga, utilizando tan pocas evaluaciones de Pcomo sea posible. (Puedo elegir mis consultas dependiendo de la respuesta de todas las consultas anteriores, no estoy obligado a planificar todas las consultas por adelantado).
Una estrategia sobre es una función que me dice, en función de las consultas que ejecuté hasta ahora y sus respuestas, qué nodo consultar y que garantiza eso en cualquier predicado , siguiendo la estrategia , Alcanzaré un estado en el que sé el valor de en todos los nodos. El tiempo de ejecución de en un predicado es el número de consultas requeridas para conocer el valor de en todos los nodos. El peor tiempo de ejecución de es . Una estrategia óptima es tal que .
Mi pregunta es la siguiente: dado como entrada el poset , ¿cómo puedo determinar el peor tiempo de ejecución de las estrategias óptimas?
[Está claro que para un poset vacío se necesitarán consultas (necesitamos preguntar sobre cada nodo individual), y que para un orden total alrededor de se necesitarán consultas (haciendo una búsqueda binaria para encontrar la frontera). Un resultado más general es el siguiente límite inferior teórico de la información: el número de opciones posibles para el predicado es el número de antichains de (porque hay un mapeo uno a uno entre predicados monotónicos y antichains interpretados como los elementos máximos de ), por lo tanto, dado que cada consulta nos da un poco de información, necesitaremos al menos consultas, sumando los dos casos anteriores. ¿Es estrictamente limitado o son algunos posets cuya estructura es tal que el aprendizaje puede requerir asintóticamente más consultas que el número de antichains?]