Estrategia ganadora de un juego de eliminación de "borde o vértice aislado"

¿Es este juego de información perfecto jugado en gráficos conocido / estudiado?

Dado un gráfico $G= (V,E)$ , dos jugadores se alternan eligiendo un borde o un nodo aislado. Si el jugador elige un borde $e = (u,v)$ los dos nodos $u$ y $v$ se eliminan junto con sus bordes incidentes. Si el jugador elige un nodo aislado, el nodo se elimina. El primer jugador que no puede moverse pierde el juego.

¿Cuál es la complejidad de encontrar al ganador?

¿Alguna referencia a juegos similares?

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— Marzio De Biasi
fuente

¿Supongo que el nodo aislado se elimina si se selecciona? Si es así, el jugador 0 gana también en todos los caminos no vacíos al pasar el primer movimiento subdividiendo el problema en dos componentes iguales y luego reflejar el movimiento de los oponentes en el componente opuesto a partir de ese momento para mantener el isomorfismo. Esto implica que el jugador 1 gana en un ciclo, ya que el primer movimiento reduce el problema a un camino.

— Yonatan N

@YonatanN: sí, se puede seleccionar (y eliminar) un nodo aislado; pero la estrategia de simmetría funciona en rutas de longitud par (el jugador 0 elige los 2 nodos centrales como primer movimiento, luego refleja los movimientos del jugador 1), pero no en las rutas de longitud impar: intente aplicar la estrategia a una ruta de longitud 11, y no funciona (de hecho, para un camino de longitud 11 el ganador es el jugador 1).

— Marzio De Biasi

@Marzio De Biasi: Lo siento, pero cuando juego buenos juegos, normalmente juego a mano. A menos que haya cometido errores, el jugador 0 tiene una estrategia ganadora: Observe que: a) para P1, P2, P5 y P8, el jugador 0 siempre gana. b) para P3 y P7, el jugador 1 siempre gana. c) para P4 y P6, el jugador 0 puede decidir ganar o perder. Ahora en el caso de P11: - Numere los nodos de P11 con v1, v2, ... v11. - El jugador 0 toma la ventaja v9, v10 y el resto es el nodo aislado v11 y P8. Si el jugador 1 toma v11, el jugador 0 ganará porque tiene un camino parejo. De lo contrario, el jugador 0 ganará por a), b) yc).

— user13136

Según mi programa , los valores de n≤100 de modo que el primer jugador pierde en el juego en el camino con n vértices son 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91 y 95. Desafortunadamente, no veo ningún patrón que no sea extraño (que ya era conocido), y OEIS no muestra ninguna coincidencia.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: ... toma la diferencia por pares: (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) y obtienes 4 4 4 4 4 4 ... parece un patrón :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) y obtienes 20 20 20 ... ¡otro! :-D

— Marzio De Biasi

Publico una actualización como respuesta automática solo para mantenerla distinta de la pregunta ( que aún está abierta ).

Como se muestra en los comentarios (gracias a Tsuyoshi Ito), el problema es solucionable en tiempo polinómico para rutas:

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

A partir de 0, la secuencia (calculada) de los valores nim es periódica:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

No trabajé en una prueba matemática rigurosa, pero la idea es:

supongamos que queremos calcular el elemento , entonces el primer movimiento (elegir un borde) puede dividir la ruta en diferentes maneras (n-2,0), (n-3, 1), (n-4,2), ...). El nuevo valor de nim es igual a: $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

Los primeros 34 elementos del conjunto son producidos por la primera secuencia no repetitiva (0,1,1,0, ...) (nim) sumada con los elementos de la secuencia repetitiva en orden inverso a partir del elemento . $(34-2-x) \bmod 34$

Por ejemplo: para : $x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Para x = 0..33 la secuencia mex resultante es igual a la secuencia repetitiva:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Los elementos restantes del conjunto se calculan solo en las secuencias de repetición: (para los pares se repiten, por lo que no alteran el resultado mex). La secuencia mex resultante para x = 0..33 es: $rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Que es igual a la secuencia de repetición excepto para y ; pero los valores son más bajos que el mex correspondiente en la secuencia no repetida, entonces: $x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ = $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

y para , $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— Marzio De Biasi
fuente

Según mis cálculos, el primer jugador tiene una estrategia ganadora para , dando un contraejemplo a su reclamo iff .

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136: ¿verificó los valores nim? Para el valor de nim es 0 (obtuve los mismos valores de Tsuyoshi con un programa diferente, pero quizás ambos estamos equivocados).

P_{23}

$P_{23}$

— Marzio De Biasi

Creo que una posible falla en sus programas podría ser ignorar el , en cuyo caso el primer jugador siempre pierde. Si lo desea, podemos jugar el caso ahora.

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136

Lo siento, me tengo que ir ahora.

— user13136

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ (puede eliminar los comentarios anteriores que contienen los movimientos)

— Marzio De Biasi