¿Cuándo "X es NP-completo" implica "#X es # P-completo"?

Deje que denote un problema (decisión) en NP y deje que # denote su versión de conteo. $X$ $X$

¿En qué condiciones se sabe que "X es NP-completo" $\implies$ ¿"#X es # P-completo"?

Por supuesto, la existencia de una reducción parsimoniosa es una de esas condiciones, pero esto es obvio y la única condición de la que soy consciente. El objetivo final sería mostrar que no se necesita ninguna condición.

Hablando formalmente, uno debería comenzar con el problema de conteo # definido por una función y luego definir el problema de decisión en una cadena de entrada como ? $X$ $f : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ $X$ $s$ $f(s) \ne 0$

cc.complexity-theory np-hardness counting-complexity

— Tyson Williams
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¿Está buscando algo más que "X es NP-completo bajo reducciones parsimoniosas"?

— Joshua Grochow

@usul: No. Si abandonamos la suposición de que X es NP-completo, entonces la coincidencia bipartita está en P (por lo que definitivamente no es NP-parsimoniosamente asumiendo

) pero su versión de conteo es # P-complete. Sin embargo, si realmente queremos X NP-complete, entonces no sé de un problema X tal que: 1) X sea NP-complete, 2) X no sea NP-complete bajo reducciones parsimoniosas, y 3) #X es # P-completo. Pero realmente no lo he pensado.

P \neq N P

$P \neq NP$

— Joshua Grochow

¿Pero hay un problema que niega esto? es decir, X es NP-complete y #X no es # P-complete?

— Suresh Venkat

@YoshioOkamoto: eso prueba que #X ∈ #P implica que X ∈ NP . Está en la dirección equivocada y pierde el problema de la integridad. Lo que estamos viendo esencialmente es qué requisitos adicionales son necesarios para la existencia de una reducción de muchos a uno para los problemas de decisión en NP (para problemas de decisión arbitrarios, o de un problema completo de NP ) implica la existencia de un reducción de conteo eficiente para problemas en #P (para problemas de conteo arbitrario, o de un problema completo #P ).

— Niel de Beaudrap

@ColinMcQuillan Se podría decir a la inversa. Comience con un problema de conteo y defina un problema de decisión a partir de él preguntando si la salida no es cero.

— Tyson Williams el

El artículo más reciente sobre esta cuestión parece ser:

Noam Livne, Una nota sobre # P-integridad de las relaciones de testigos de NP , Cartas de procesamiento de información, Volumen 109, Número 5, 15 de febrero de 2009, páginas 259–261 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0020019008003141

lo que da algunas condiciones suficientes.

Curiosamente, la introducción dice "Hasta la fecha, todos los conjuntos completos NP conocidos tienen una relación definitoria que es #P completa", por lo que la respuesta al comentario de Suresh es "no se conocen ejemplos".

— Colin McQuillan
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Fischer, Sophie, Lane Hemaspaandra y Leen Torenvliet. "Reducciones testigo-isomorfas y búsqueda local". NOTAS DE CONFERENCIA EN MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS (1997): 207-224.

Al comienzo de la sección 3.5, hacen la siguiente pregunta "En particular, ¿hay conjuntos NP completos que con respecto a algún esquema de testigo no son #P-completos?"

$_L$ ${\bf P}$ $\not =$ ${\bf P^{\bf \#P}}$

— Tayfun Pay
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