Encontrar agujeros impares en los gráficos circulantes de Paley

Los gráficos de Paley P _q son aquellos cuyo conjunto de vértices está dado por el campo finito GF (q), para las potencias primarias q≡1 (mod 4), y donde dos vértices son adyacentes si y solo si difieren en un ² para algunos a ∈ GF (q). En el caso de que q sea primo, el campo finito GF (q) es solo el conjunto de enteros módulo q.

En un artículo reciente , Maistrelli y Penman muestran que el único gráfico de Paley que es perfecto (que tiene un número cromático igual al tamaño de su camarilla más grande) es el de nueve vértices. Esto implica, en particular, que ninguno de los gráficos de Paley P _q son perfectos para q primo.

El teorema del gráfico perfecto fuerte afirma que un gráfico G es perfecto si y solo si G y su complemento carecen de agujeros impares (un subgrafo inducido que es un ciclo de longitud impar y un tamaño de al menos 5.) Los gráficos de Paley de primer orden son autocomplementario e imperfecto; por lo tanto deben contener agujeros impares.

Pregunta. Para q≡1 (mod 4) prime, ¿existe un algoritmo poli (q) para encontrar un agujero impar en P _q ? ¿Existe un algoritmo polylog (q)? La aleatoriedad y las conjeturas teóricas de números populares están permitidas.

Creo que hay un algoritmo conocido de poli (q). Comprendo el algoritmo de Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour y Vušković, "Recognizing Berge Graphs", Combinatorica 2005 , es que encuentra un agujero extraño o un antihoyo extraño en cualquier gráfico no perfecto en tiempo polinómico. Los autores escriben en la página 2 de su artículo que el problema de encontrar agujeros extraños en los gráficos que los tienen permanece abierto, porque los pasos 1 y 3 de su algoritmo encuentran agujeros, pero el paso 2 podría encontrar un antiagujero. Sin embargo, en el caso de los gráficos de Paley, si encuentra un antiagujero, simplemente multiplique todos los vértices en él por un no residuo para convertirlo en un agujero extraño.

Alternativamente, por analogía con el gráfico Rado, para cada k debería haber una N tal que los gráficos de Paley en N o más vértices deberían tener la propiedad de extensión: para cualquier subconjunto de menos de k vértices, y cualquier coloración 2 del subconjunto, existe otro vértice adyacente a cada vértice en una clase de color y no adyacente a cada vértice en la otra clase de color. Si es así, entonces para k = 5 podrías construir un extraño 5 hoyos con avidez en tiempo polinómico por paso. ¿Quizás esta dirección es esperanzadora para un algoritmo poli (log (q))? Si funciona, al menos mostrará que hay agujeros cortos e impares, aparentemente un requisito previo necesario para encontrarlos rápidamente.

En realidad, no me sorprendería si lo siguiente fuera un algoritmo poli (log (q)): si q es más pequeño que una constante fija, busque la respuesta, de lo contrario, construya un extraño 5 agujeros buscando secuencialmente a través de los números 0, 1, 2, 3, ... para vértices que se pueden agregar como parte de un agujero parcial de 5. Pero tal vez probar que funciona en tiempo poli (log (q)) requeriría una teoría de números profunda.

Según los resultados de Chung, Graham y Wilson, "Gráficos cuasialeatorios", Combinatorica 1989, el siguiente algoritmo aleatorio resuelve el problema en un número constante de ensayos esperados cuando q es primo: si q es lo suficientemente pequeño, busque la respuesta, de lo contrario, elija repetidamente un conjunto aleatorio de cinco vértices, compruebe si forman un agujero extraño y, si es así, devuélvalo. Pero no dicen si funciona cuando q no es un primo, sino un primer poder, por lo que tal vez deba ser más cuidadoso en ese caso.