Juegos de Ehrenfeucht-Fraïssé (Ajtai-Fagin de hecho) para idiomas regulares.

Immerman (Complejidad descriptiva, 1999) presenta los juegos EF para el segundo orden monádico existencial (juegos Ajtai-Fagin) en la página 127. Como MSO en palabras es equivalente a los idiomas normales, el juego se puede escribir de la siguiente manera. $\exists$

Un lenguaje es regular si y solo si Delilah no tiene una estrategia ganadora en el siguiente juego: 1. Samson elige , 2. Delilah elige , 3. Samson elige subconjuntos del conjunto de posiciones en (es decir, $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Delilah chosses y subconjuntos del conjunto de posiciones en , 5. Samson y Delilah juegan el -Girar EF juego en y $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , dondees la estructura asociada con la palabra, es decir: con $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

, y

es el predicado sucesor binario.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

Tengo dos preguntas:
- ¿Cómo se muestra que no es regular, usando un argumento EF como este, - ¿Es más fácil / más difícil jugar esos juegos (mostrar falta de regularidad) cuando uno tiene una relación de ordenamiento en lugar de la del sucesor? (Esos son equivalentes en MSO existencial). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
fuente

$c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
$r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
$k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Esto funcionó para las estructuras sucesoras. Con un orden lineal será un poco más difícil, pero no pensé mucho en ello.

Tenga en cuenta que, como era de esperar, este argumento se parece un poco al argumento de "bombeo" en autómatas. Sin embargo, no es tan tonto como simplemente traducir la fórmula a un autómata. Creo que cuenta como un argumento teórico modelo.

— Slimton
fuente

¿Mi respuesta no te convence?

— slimton

Vaya, lo siento, por supuesto que sí. Aunque estaría realmente interesado en ver qué sería eso con un orden lineal (y, por lo tanto, sin la localidad de Hanf). ¡Gracias por esa respuesta!

— Michaël Cadilhac