Combinadores para las funciones recursivas primitivas

Es bien sabido que los combinadores S y K son Turing completos. ¿Hay combinadores que sean suficientes para producir (solo) las funciones recursivas primitivas?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
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¿Es esto lo que estás preguntando? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Sí, pero debes considerar los combinadores mecanografiados. Es decir, debe dar a y los siguientes esquemas de tipo: donde y son meta-variables que pueden ser instanciadas a cualquier tipo concreto en cada uso. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Luego, desea agregar el tipo de números naturales al lenguaje de tipos y agregar los siguientes combinadores: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Las reglas de igualdad para las adiciones son:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
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Entonces, ¿esto es menos que Turing completo en virtud de la restricción a los combinadores mecanografiados? ¿Pueden las variables de tipo (recursivamente) denotar funciones sobre las variables de tipo (por ejemplo, A = D -> E para algunos tipos D y E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, gracias. ¿Estaría en lo cierto al pensar que es posible representar z, succ e iter en términos de S y K a través de la codificación numérica de la Iglesia?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: la función predecesora tiene una definición de tiempo lineal bien conocida en términos de iter. Este podría ser el objeto de una pregunta en cs.stackexchange.com ...

— cody