Proporción de oro o Pi en el tiempo de ejecución

Hay muchos lugares donde se muestran los números y . Tengo curiosidad por saber acerca de los algoritmos cuyo tiempo de ejecución contiene la proporción áurea o en el exponente.$\pi$$(1+\sqrt5)/2$$\pi$

Es la base en lugar del exponente, pero hay un tiempo FPT limitado en$O(\varphi^k n^2)$

" Algoritmo manejable de parámetros fijos eficientes para la minimización del cruce a 1 cara ", Vida Dujmovic, Sue Whitesides, Algorithmica 40: 15–31, 2004.

Además, es un límite inferior en lugar de un límite superior, pero:

" Un límite inferior en el tiempo para simular una cola o dos tiendas pushdown por una cinta$n^{1.618}$ ", Paul MB Vitányi, Inf. Proc. Letón. 21: 147-152, 1985.

Finalmente, el que estaba tratando de encontrar cuando me encontré con esos otros dos: el árbol sándwich de jamón, una estructura de datos ahora obsoleta en geometría computacional para consultas de rango triangular, tiene tiempo de consulta . Entonces, la proporción áurea está correctamente en el exponente, pero con un registro en lugar de como sí mismo. La estructura de datos es una partición jerárquica del plano en celdas convexas, con la estructura general de un árbol binario, donde cada celda y su hermano en el árbol se dividen con un corte de emparedado de jamón. El tiempo de consulta está determinado por la recurrencia , que tiene la solución anterior. Se describe (con un nombre más aburrido) porQ ( n ) = Q ( $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$$Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

" Halfplanar rango de búsqueda en el espacio lineal y tiempo de consulta$O(n^{0.695})$ ", Herbert Edelsbrunner, emotivo Welzl, Inf. Proc. Letón. 23: 289–293, 1986.

(de mi comentario anterior)

El límite inferior de tiempo / espacio de Fortnow y Melkebeek para la solubilidad del SAT ( tiempo y espacio) contenía la proporción áurea en el exponente; pero ha sido mejorado más tarde por Ryan Williams . n o ( 1 $n^{\phi - \epsilon}$$n^{o(1)}$

También en la base en lugar del exponente: el algoritmo Monien-Speckenmeyer para 3-SAT tiene un tiempo de ejecución de . Ese fue el primer límite superior no trivial para 3-SAT.$\varphi^n\cdot O(n)$

Otro ejemplo de en la base es un algoritmo de Andreas Björklund y Thore Husfeldt para calcular la paridad del número de ciclos hamiltonianos dirigidos, que se ejecuta en el tiempo .O ( φ n$\varphi$$O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

También en la base: el algoritmo de eliminación-contracción (Zykov, 1949) para calcular el número de coloraciones de gráficos en el tiempo . Este es un ejemplo muy canónico de cómo aparece la proporción áurea de una recurrencia de Fibonacci durante el tiempo de evaluación de una fórmula recursiva natural; Estoy seguro de que es el más antiguo.$O(\phi^{|E|+|V|})$

Mikko Koivisto encontró un algoritmo para calcular el número de coincidencias perfectas (IWPEC 2009).$O(\phi^{|V|})$

Ración dorada en la base: un algoritmo FPT muy reciente de Kociumaka y Pilipczuk, el conjunto de vértices de retroalimentación determinista más rápido calcula un FVS de tamaño en el tiempo . (Luego mejoran su algoritmo para ejecutarse en el tiempo .$k$$O^*\left((2 + \phi)^k\right)$$O^*(3.592^k)$

para ampliar el comentario de Martin Bergers: el antiguo algoritmo Euclidean GCD se ejecuta en el peor de los casos en dos elementos sucesivos de la secuencia de Fibonacci. más detalles en wikipedia que también dice:

Esta prueba, publicada por Gabriel Lamé en 1844, representa el comienzo de la teoría de la complejidad computacional, [93] y también la primera aplicación práctica de los números de Fibonacci. [91]

técnicamente, el algoritmo GCD se ejecuta en tiempo logarítmico pero la proporción áurea se muestra en la cantidad de pasos del algoritmo.$O(\log(n))$

[1] ¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo Euclids, math.se