Constructividad en prueba natural y complejidad geométrica

Recientemente, Ryan Willams demostró que la constructividad en la prueba natural es inevitable para derivar una separación de clases de complejidad: y . $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

La constructividad en la prueba natural es una condición que satisface todas las pruebas combinatorias en la complejidad del circuito y que podemos decidir si la función objetivo en (u otras clases de complejidad "duras") tiene una propiedad "dura" por un algoritmo que se ejecuta en poly-time en la longitud de la tabla de verdad de la función objetivo.$\mathsf{NEXP}$

Las otras dos condiciones son: la condición inútil que requiere la propiedad "dura" no puede ser calculada por ningún circuito en y la condición de amplitud de que la propiedad dura es fácil de encontrar.$\mathsf{TC}^0$

Mi pregunta es :

¿Este resultado hace que la Teoría de la complejidad geométrica (GCT) no esté disponible para resolver los principales problemas de separación como vs , vs o vs ?N P P N C N E X P T C$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Referencias

• Ryan Williams, " Pruebas naturales versus aleatorización "

No, la inevitabilidad de la constructividad definitivamente todavía deja a GCT abierto como un plan viable de ataque en problemas de límite inferior como vs.P .P / p o l $NP$$P/poly$

Primero, vale la pena mencionar que el resultado de Ryan sobre la constructividad es muy similar en sabor a los llamados "Flip Theorems" de Mulmuley, que dicen, por ejemplo, que si el permanente no tiene circuitos aritméticos de tamaño polivinílico, entonces hay un conjunto constructivo aleatorizado de tiempo múltiple de polinomios (polinomialmente muchas) matrices modo que cada pequeño circuito difiere del permanente en una de estas matrices. Ver Pruebas explícitas y The Flip, Informe técnico, Departamento de informática, Universidad de Chicago, septiembre de 2010 por Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

En segundo lugar, la centralidad de la caracterización de simetría (ya mencionada por siuman) en GCT se ha vuelto más evidente desde la encuesta de Regan. Si la caracterización de simetría resulta tan crucial para GCT como parece, entonces esto ya evita la condición de amplitud. Para la definición de caracterización de simetría, vea esta respuesta a una pregunta previa estrechamente relacionada .

Para ver una prueba de que la caracterización de la simetría viola la amplitud, consulte la Sección 3.4.3 "La caracterización de la simetría evita la barrera de Razborov-Rudich" en mi tesis (autoenchufes desvergonzados, pero no sé en ningún otro lugar donde esto esté escrito tan completamente) . Sospecho que también viola la constructividad, pero lo dejé como una pregunta abierta allí. (Anteriormente en el Capítulo 3 también hay una descripción general de los teoremas de volteo en GCT y cómo se relacionan con la caracterización de simetría).

(Me parece interesante que la caracterización de simetría, la misma propiedad que sospechamos que se usará en GCT que se mueve alrededor de Razborov, Rudich, se usa para probar los teoremas de volteo, que esencialmente dicen que la constructividad es necesaria).

Finalmente, vale la pena mencionar que, aunque a la larga GCT tiene como objetivo abordar versus y otros problemas booleanos, en este momento la mayoría del trabajo en GCT se enfoca en análogos algebraicos de estos, como sobre los números complejos, y allí todavía no es un análogo algebraico de Razborov - Rudich (que yo sepa).P / p o l $NP$$P/poly$

Permítanme primero corregir un posible malentendido: desafortunadamente todavía no sabemos que . Mi límite inferior más reciente es . N E X P ∩ c o N E X P ⊄ A C $NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

Ahora, la respuesta a tu pregunta es no. Todavía es muy posible que las técnicas basadas en GCT puedan separar de .N $P$$NP$

Algunos comentarios más sobre esto: la relación entre GCT y Natural Proofs se ha discutido en el pasado (incluso en los documentos originales de GCT). Si bien no parece haber consenso sobre cuál de "constructividad" o "amplitud" sería violada por el enfoque de GCT, Mulmuley y Sohoni argumentaron en un punto que si GCT podría llevarse a cabo, entonces debería violar la amplitud. Para obtener una referencia relevante, consulte la Sección 6 de la descripción general de GCG de Regan . Sin embargo, debo agregar que esta descripción general ya tiene 10 años, y una cantidad considerable de trabajo se ha dedicado a GCT desde entonces; No estoy seguro de si hay alguna opinión revisada / nueva sobre esto. (¿Quizás Josh Grochow puede intervenir?)

La respuesta corta es no .

El enfoque de la teoría de la complejidad geométrica apunta a ciertas propiedades extremadamente raras, que Mulmuley argumenta que no es "grande" como lo definen Razborov y Rudich. Para un argumento formal, véase también la tesis de Joshua Grochow , Sección 3.4.3 La caracterización de simetría evita la barrera de Razborov-Rudich , y su respuesta .

El siguiente párrafo proviene de On P vs. NP y Geometric Complexity Theory de Ketan Mulmuley ( JACM 2011 o manuscrito ), Sección 4.3 Un plan de alto nivel :

El objetivo es llevar a cabo estos pasos explícitamente, explotando la caracterización por simetrías de lo permanente y determinante. Especificaremos qué significa explícito más adelante; cf. Hipótesis 4.6. Este enfoque es extremadamente rígido en el sentido de que solo funciona para funciones difíciles extremadamente raras que se caracterizan por sus simetrías. Esta rigidez extrema es mucho más de lo que se necesita para evitar la barrera de prueba natural [Razborov y Rudich 1997].

Dado que tanto las condiciones de constructividad como la amplitud son necesarias para una prueba natural (donde la utilidad es implícita), demostrar que la constructividad es inevitable no es suficiente para descartar tales enfoques (aunque es un gran paso adelante).