Fórmula booleana equilibrada en

Estoy buscando referencias sobre la complejidad del problema de equilibrio de la fórmula booleana . En particular,

¿Se sabía que las fórmulas booleanas se pueden equilibrar en ? $\mathsf{AC^0}$
¿Hay alguna prueba simple de que el equilibrio de la fórmula booleana esté en ? $\mathsf{AC^0}$

Por "simple" me refiero a una prueba más simple que la que menciono a continuación, en particular, estoy buscando una prueba que no dependa de que la evaluación de la fórmula booleana esté en . $\mathsf{NC^1}$

Antecedentes

Aquí todas las clases de complejidad mencionadas son las uniformes.

BFB (equilibrio de la fórmula booleana):
dada una fórmula booleana , encuentre una fórmula booleana equilibrada equivalente. $\varphi$

Estoy interesado en la complejidad de este problema, en particular las pruebas simples que muestran que el problema está en (o incluso o ). Los argumentos de equilibrio comunes como los basados en el lema de Spira aplican modificaciones estructurales repetidas al árbol de fórmulas que parecen dar solo . $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

Tengo una prueba para , sin embargo, la prueba no es simple y depende de la prueba de . $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

$\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

$BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

$BFB$ $\mathsf{NC^1}$

$\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

Motivación

Un argumento más simple para que esté en (o o incluso ) daría una nueva prueba más simple de ya que es fácil ver que la versión balanceada de BFE se puede resolver en y podemos componerla con y el resultado estará en . $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Preguntas

¿Se sabía que las fórmulas booleanas se pueden equilibrar en ( )? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
¿Existe un argumento más simple (por ejemplo, no confiar en ) para ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Kaveh
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¿Qué definición de "equilibrio" utiliza?

— Dana Moshkovitz

@Dana, podemos usar algo como (es decir, con constantes específicas). Véase también el documento de Bonnet and Buss " Tamaño-Profundidad de compensación para fórmulas booleanas ", 2002.

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

acordó que la definición de "equilibrio" debería quedar clara. ¿Es esto similar al concepto de equilibrio en árboles binarios? por ejemplo, "árboles auto equilibrados"

— vzn

No estoy seguro de si esto es muy relevante, pero en Algoritmos de espacio de registro para rutas y coincidencias en k-Trees (basándose en una larga historia de trabajo pasado y específicamente en clases de Aritmetización alrededor de NC1 y L por Limaye-Mahajan-Rao) mostramos cómo encontrar separadores balanceados recursivos para un árbol en Logspace. Este límite puede muy bien mejorarse a si el árbol de entrada se da directamente en la representación de cadena. $\mathsf{NC}^1$

La idea básica es representar el árbol como una expresión de paréntesis y encontrar separadores equilibrados para estos. Observe que encontramos separadores de hojas, es decir, subárboles que están equilibrados con el número de hojas.

— SamiD
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