Los barrios acogedores de "P" y de "NP-hard"

Deje que sea ​​una tarea algorítmica. (Puede ser un problema de decisión o un problema de optimización o cualquier otra tarea). Llamemos a "en el lado polinomial" si se supone que es NP-hard implica que la jerarquía polinómica se colapsa. Llamemos a "en el lado NP" si se supone que admite que un algoritmo polinomial implica que la jerarquía polinómica se colapsa.$X$X X $X$$X$$X$$X$

Por supuesto, cada problema en P está en el lado polinomial y cada problema NP-duro está en el lado NP. Además, por ejemplo, la factorización (o cualquier cosa en la intersección NP coNP) está en el lado polinómico. El isomorfismo gráfico está en el lado polinómico. Muestreo cuántico está en el lado NP.

1) Estoy interesado en más ejemplos (tan naturales como sea posible) de tareas algorítmicas en el lado polinómico y (especialmente) en más ejemplos en el lado NP.

2) Ingenuamente parece que el lado NP es una especie de "vecindad" de los problemas NP-difíciles, y el lado P es un "vecindario de P". ¿Es una idea correcta considerar los problemas en el lado NP como "considerablemente más difíciles" en comparación con los problemas en el lado P? ¿O incluso considerar los problemas en el lado NP como "moralmente NP-duro"?

3) (Esto puede ser obvio pero no lo veo) ¿Hay una en ambos lados o hay razones teóricas para creer que tal es poco probable? Actualización La respuesta es SÍ; ver la respuesta de Yuval Filmus a continuación.$X$$X$

(Si estos "lados" están relacionados con las clases de complejidad real y si pierdo alguna jerga relevante de cc o resultados relevantes, hágamelo saber).

Actualizar:En este momento hay varias respuestas muy buenas a la pregunta. Como señaló primero Yuval Filmus y mencionó nuevamente, la pregunta no es formal y se necesita alguna restricción en el argumento que muestra que X está en el lado P / lado NP. (De lo contrario, puede hacer que X sea la tarea de presentar una prueba para 0 = 1 que está en ambos lados.) Dejando esto de lado, puede ser el caso que los problemas X (genuinamente) en el lado NP capturen de alguna manera la dureza de SAT, aunque este también puede ser el caso para algunos problemas en el lado P donde la dureza de SAT se debilita (incluso ligeramente) de una manera comprobable. Yuval Filmus dio una versión debilitada de SAT que está en ambos lados. Andy Drucker dio (en dos respuestas) cinco ejemplos interesantes, incluida una referencia a las jerarquías Baja y Alta de Schöning, y Scott Aaronson dio otros ejemplos interesantes, mencionó la cuestión de invertir una función unidireccional que está cerca de capturar la dureza NP y, sin embargo, en el lado P, y su respuesta también discute el interesante caso de QUANTUMSAMPLING. Mencioné un viejo resultado de este tipo de Feige y Lund.

Los mismos términos "en el lado P" y "en el lado NP", y por supuesto el título de la pregunta, nos animan a imaginar un "vecindario acogedor" que rodea a P y otro "vecindario acogedor" que rodea los problemas difíciles de NP. Sin embargo, me gustaría argumentar que estos dos barrios no son tan "acogedores" en absoluto.

Como primera observación, hay problemas "en el lado P" que parecen "moralmente" mucho más cercanos a NP-hard que a P. Un ejemplo, anticipado por Gil, por supuesto, es el problema general de invertir funciones unidireccionales ( dependiendo exactamente de qué tipo de reducciones están permitidas; ver Bogdanov-Trevisan o Akavia et al.).

Por el contrario, también hay problemas "en el lado de NP" que parecen "arbitrariamente lejos" de ser NP-hard. Un ejemplo tonto es un lenguaje aleatorio L, con probabilidad 1 sobre L! Porque si tal L está en P, entonces 0 = 1 y las matemáticas son inconsistentes y, por lo tanto, el PH también se colapsa. ;-RE

(Tenga en cuenta que un lenguaje aleatorio L también está "en el lado P", con probabilidad 1 sobre L. Para casi todas esas L tiene la propiedad de que si son NP-duras, entonces NP⊆BPP y PH colapsan. Y esto da una prueba, mucho más simple que la apelación al Teorema de Ladner, de que existen idiomas en ambos "lados". De hecho, muestra que de la infinidad infinita de idiomas, "casi todos" - de hecho, 100% - están en ambos lados!)

Esto suena como un juego juvenil, pero hay una lección seria que me gustaría sacar de ella. Yo diría que, a pesar de que MUESTREO CUÁNTICO está formalmente "en el lado NP", ese problema está apenas más cerca de ser "moralmente duro NP" que el lenguaje aleatorio L. Arkhipov y yo (e independientemente, Bremner-Jozsa-Shepherd) demostramos que, si QUANTUM SAMPLING está en P (o más bien, en SampBPP, la clase de problemas de muestreo polinomialmente solucionables), entonces P ^#P = BPP ^NP , y por lo tanto el La jerarquía polinómica se derrumba. Sin embargo, si usted es una máquina BPP, un oráculo para BosonSampling, por lo que sabemos, no lo acercará más a la resolución de problemas NP-completos que un oráculo aleatorio. Solo si ya tiene la capacidad de resolver problemas NP-completos, por ejemplo,Máquina ^NP : ¿"notas" que el oráculo BosonSampling aumenta tus capacidades aún más, hasta #P. Pero la propiedad de aumentar NP hasta #P parece diferente, y quizás incluso "ortogonal a", la propiedad de ser NP-duro por sí mismo.

Por cierto, un maravilloso problema abierto sugerido por la pregunta de Gil es si BosonSampling también está "en el lado P". Es decir, ¿podemos demostrar que si NP se reduce a BosonSampling, el PH colapsa? Si bien podría estar perdiendo algo obvio, a primera vista no tengo idea de cómo probar tal cosa, más de lo que sé cómo demostrar la mayor implicación de que si NP ⊆ BQP entonces PH colapsa.

Dos comentarios, ninguno de los cuales equivale a una respuesta, pero que pueden proporcionar algunas lecturas adicionales útiles.

1) Schöning definió dos clases de problemas NP llamados "Jerarquía baja" y "Jerarquía alta", que están relacionados con sus nociones. En particular, los problemas en LowH están "en el lado P", y los problemas en HighH están en el lado NP. En este marco se pueden establecer varios resultados bien conocidos en complejidad. Por ejemplo, el teorema de Karp-Lipton dice que NP no está en P / poli a menos que el PH colapse; Esto es una consecuencia del hecho de que NP P / poly está contenido en un nivel fijo de LowH (como muestra la técnica de prueba de Karp-Lipton). Tenga en cuenta que no esperamos que NP ∩ P / poly, o LowH, esté contenido en P. Para una encuesta sobre LowH en particular, vea$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Para ser claros, no hay evidencia real de que este problema no sea NP-hard, o que sea fácil en cualquier sentido. Pero parece bastante diferente de otros problemas difíciles en NP. Creo que este es uno de los candidatos más interesantes para problemas NP-intermedios, y no uno que sea bien conocido.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

En respuesta a una pregunta de Bodlaender, Downey, Fellows y Hermelin, Fortnow y Santhanam demostraron que tal reducción de la compresión es poco probable, ya que colapsaría la Jerarquía Poli:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Su resultado se aplicó a reducciones aleatorias que permitieron un error unilateral. Probé un resultado correspondiente para el error de dos lados en

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Cada uno de estos documentos en realidad brinda información más sólida y específica que los resultados citados anteriormente).

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Me encontré con este resultado de Feige y Lund, que muestra que, a menos que la jerarquía polinómica se colapse, es difícil adivinar incluso información muy parcial sobre el permanente de una matriz aleatoria.

Uriel Feige y Carsten Lund, Sobre la dureza de calcular el permanente de matrices aleatorias. Complejidad computacional 6 (1996/1997) 101-132.

Permítanme mencionar también dos resultados relevantes adicionales que me llamó la atención de Uri Feige:

Los siguientes dos documentos aplican esto en el contexto de la kernelización (algoritmos manejables de parámetros fijos).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: sobre problemas sin núcleos polinomiales. J. Comput. Syst. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Inviabilidad de compresión de instancia y PCP sucintos para NP. J. Comput. Syst. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)