Conjunto más pequeño no incluido en una colección de conjuntos

Dada como entrada un número entero $n$ y un conjunto $S$ de conjuntos de elementos de $\{1, ..., n\}$ , ¿cuál es la complejidad de encontrar un conjunto $T$ de elementos de $\{1, ..., n\}$ tal que $T$ tiene una cardinalidad mínima y $T$ se incluye en ninguno de los conjuntos de $S$ ?

Sea , y sea F = { S 1 , S 2 , ... , S m } ⊆ 2 [ n ] sea ​​la familia del conjunto de entrada. A menos que haya entendido mal la formulación de su problema, queremos encontrar un conjunto de tamaño mínimo T ⊆ [ n ] tal que T ⊈ S i para todo i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Para responder a su pregunta, tenga en cuenta que si y solo si T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ . Es decir, T tiene que intersecar el complemento de cada S i . Pero esto significa que su problema es, esencialmente, equivalente al problema del juego de golpes (considere golpear el juego con la entrada G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , ... , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Golpeando a Set. Dada una familia de conjuntos y un entero k , ¿existe un conjunto T ⊆ [ n ] con | T | ≤ k y T ∩ S ≠ ∅ para todos S ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Se sabe que el conjunto de golpes es NP-completo y no se puede resolver, en términos generales, más rápido que en el tiempo menos que falle la hipótesis del tiempo exponencial fuerte.$O(2^n)$

El problema es equivalente al Problema de la cubierta del conjunto / Problema del conjunto de golpes:

Dada una familia de subconjuntos de { 1 , ... , n } , encontrar un conjunto T ⊂ { 1 , ... , n } de tamaño mínimo posible que se cruza cada conjunto en la familia F .$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Su problema es equivalente al problema del conjunto de golpes, ya que no se encuentra en ningún conjunto en S si y solo si se cruza con cada conjunto en F = { ˉ A : A ∈ S } . (Entonces, para resolver una instancia del problema del conjunto de golpes, es suficiente resolver la instancia de su problema con S = { ˉ A : A ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

El problema del conjunto de golpes es NP-hard [Karp '72]. Hay un algoritmo de aproximación para ello y una dureza correspondiente del resultado de aproximación [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$