automorfismo en aparatos Cai-Furer-Immerman

En el famoso contraejemplo para el isomorfismo gráfico mediante el método Weisfeiler-Lehman (WL) , Cai, Furer e Immerman construyeron el siguiente dispositivo en este documento . Construyen un gráfico dado por$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Uno de los lemas en el documento (lema 3.1 página 6) establece que si los vértices y con el color entonces (el color debe ser preservado por el automorfismo) donde cada automorfismo corresponde a intercambiar y para cada en algunos subconjuntos de de cardinalidad par . Dicen que la prueba es inmediata. Pero no veo cómo incluso en el caso de . En es un borde pero si tenemos automorfismo que intercambia y$a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$el borde anterior se transforma en que no es un borde. Entonces eso no debería ser un automorfismo.$(b_1, m_{\{1,2\}})$

Me gustaría entender cuál es mi malentendido.

Te estás perdiendo el conjunto vacío que está conectado a todos los . Para obtener un automorfismo, selecciona un subconjunto de cardinalidad par y luego intercambia con para cada y luego ajusta los conjuntos en el medio. En su ejemplo, el gráfico es$\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Aún en su ejemplo, si no necesita hacer nada y si el automorfismo se da al intercambiar con , con y con .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Ahora, para el caso general, debemos mostrar que siempre hay una forma de ajustar los vértices medios. Sabemos que tiene incluso cardinalidad. Entonces dejemos . Solo tenemos que demostrar que tal automorfismo existe si ya que de lo contrario podemos aplicar la composición de automorfismos correspondiente a la división de en subconjuntos de tamaño . Por lo tanto, suponga que . Luego, el automorfismo intercambia con , con , cada vértice medio tal que$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$$b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$con el vértice medio (esto se puede ver en su ejemplo), y cada subconjunto tal que con el subconjunto tal que (Esto se puede ver para ). Tenga en cuenta que este proceso de intercambio es un automorfismo ya que para un índice la relación de borde entre , y estos vértices intercambiados se conserva por completo, y claramente la relación de borde entre Está correctamente ajustado.$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

Finalmente, para ver que estos son los únicos automorfismos posibles, observe que cada está coloreado con su propio color. Por lo tanto, no se pueden asignar a otro par . Observe también que no es posible tener un automorfismo que asigne un vértice medio a un vértice medio sin intercambiar algunos con algunos . $a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$