¿Resultados de complejidad para las funciones recursivas de primaria baja?

Intrigado por la interesante pregunta de Chris Pressey sobre funciones recursivas elementales , estaba explorando más y no pude encontrar una respuesta a esta pregunta en la web.

Las funciones recursivas elementales corresponden muy bien a la jerarquía exponencial, $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$ .

Parece claro a partir de la definición que los problemas de decisión decidibles (¿término?) Por funciones elementales inferiores deberían estar contenidos en EXP, y de hecho en DTIME $(2^{O(n)})$ ; Estas funciones también están limitadas a las cadenas de salida lineales en su longitud de entrada [1].

Pero por otro lado, no veo ningún límite inferior obvio; a primera vista parece concebible que LOWER-ELEMENTARY pueda contener estrictamente NP, o tal vez no contenga algunos problemas en P, o muy probablemente alguna posibilidad que aún no haya imaginado. Sería épicamente genial si LOWER-ELEMENTARY = NP pero supongo que es demasiado pedir.

Entonces mis preguntas:

¿Es mi comprensión hasta ahora correcta?
¿Qué se sabe sobre las clases de complejidad que limitan las funciones recursivas elementales inferiores?
(Bonificación) ¿Tenemos buenas caracterizaciones de clase de complejidad cuando hacemos más restricciones en las funciones recursivas? Estaba pensando en particular en la restricción a las sumas limitadas por , que creo que se ejecutan en tiempo polinómico y producen una salida lineal; o sumados con límites constantes, que creo que se ejecutan en tiempo polinómico y producen una salida de longitud como máximo . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Podemos mostrar (creo) que las funciones de nivel inferior están sujetas a estas restricciones por inducción estructural, suponiendo que las funciones tienen complejidad y salidas de longitud de bit en una entrada de longitud . Cuando , dejando , cada tiene una salida de longitud , entonces tiene un - longitud de entrada (y por lo tanto $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ -longitud de salida); la complejidad de calcular todas las s es y de es , por lo que tiene una complejidad y una salida de longitud como reclamado. $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

Cuando , las s tienen salidas de longitud , entonces el valor de la suma de las salidas es , por lo que su suma tiene una longitud . La complejidad de sumar estos valores está limitada por (el número de sumas) veces (la complejidad de cada suma) dando , y la complejidad de calcular las salidas está limitada por (el número de cálculos) multiplicado por (la complejidad de cada uno), dando . Entonces tiene complejidad $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ y salida de longitud como se reivindica. $O(n)$

— usul
fuente

El artículo de Wikipedia al que se vincula afirma que las funciones elementales inferiores tienen un crecimiento polinómico (pero no da ninguna referencia). Mostrar que un problema P-completo puede o no resolverse con funciones elementales sería un buen paso para fijarlo aún más. A primera vista, no parece imposible simular una máquina de Turing para n pasos, ¿tal vez una suma limitada correspondiente al número de pasos de otra suma limitada correspondiente a cada transición de estado?

— Chris Pressey

@Chris: supongo que el "crecimiento polinómico" se refiere a que el número de bits en la salida no es más que lineal en el número de bits en la entrada. Estoy de acuerdo en que la simulación parece muy plausible, y parece factible en tiempo polinómico (¡pero podría tomar algunos detalles para verificar esto!).

— usul

Lo sentimos, esa primera parte puede no estar clara, pero es porque luego, en la entrada de valor

la salida tiene un valor en la mayoría de los polinomios en

x

$x$

x

$x$

— usul

Con respecto a la pregunta 3: las funciones definibles en la variante con suma sumada

están todas en la clase de complejidad uniforme

. Con la suma limitada constante obtienes una subclase de uniforme

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen

@ Xoff Creo que todo está en la suma: estamos sumando de

, donde (en una entrada de

bits)

puede tener un tamaño de

, por lo que nuestra suma será

veces el tamaño de cada sumando.

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Con respecto a la pregunta 3 (extra): las funciones definibles en la variante con la suma limitada por están todas en la clase de complejidad uniforme . Esto se desprende de la construcción en Chandra, Stockmeyer y Vishkin "Reductibilidad de profundidad constante", SIAM J. Comput. 13 (1984) que muestra que la suma de números de bits cada uno puede calcularse mediante circuitos de profundidad constante de tamaño poinomial con puertas mayoritarias. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Con la suma limitada constante obtienes una subclase de uniforme . La suma limitada constante se puede reducir a la suma y la composición, y la suma se puede calcular mediante circuitos booleanos de profundidad constante utilizando el método de anticipación. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
fuente

"Las funciones elementales inferiores están en EXP " es correcto. De hecho, están en DPSPACE ( n ); como se puede ver por ejemplo de inducción estructural.
Aquí se muestra [1] que la satisfacción booleana SAT se encuentra en el nivel más bajo E ₀ de la Jerarquía de Grzegorczyk, es decir, con recursión limitada en lugar de suma limitada.

[1] Cristian Grozea: NP predice Computable en el nivel más débil de la Jerarquía Grzegorczyck (sic!). Journal of Automata, Languages and Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004).

La idea básica es codificar la fórmula dada de longitud binaria n en un entero N de valor aproximadamente exponencial en n ; y luego expresa la existencia de una asignación satisfactoria en términos de cuantificación limitada por dicho N (en lugar de n ).

Este método parece transferencia a partir de E ₀ a Baja Primaria
(y generalizar a partir de SAT para QBF _k para arbitraria pero fijo k ).

Sin embargo, no implica que E ₀ contenga NP (o incluso P ), porque se sabe que los cálculos de polytime dejan E ₂ .

— Martin Ziegler
fuente