Paridad ruidosa (LWE) límites inferiores / resultados de dureza

Algunos antecedentes:

Estoy interesado en encontrar límites inferiores "menos conocidos" (o resultados de dureza) para el problema de Aprendizaje con errores (LWE) y generalizaciones de los mismos como Aprender con errores sobre anillos. Para definiciones específicas, etc., aquí hay una buena encuesta realizada por Regev: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

El tipo estándar de (R) suposición de estilo LWE es a través de la reducción (quizás, cuántica) al problema de vector más corto en (posiblemente, redes) ideales. Se sabe que la formulación habitual de SVP es NP-dura, y se cree que es difícil aproximarse a pequeños factores polinómicos. (Relacionado: es difícil aproximar el CVP a factores / casi polinomiales: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) También escuché que mencioné eso (en términos de algoritmos cuánticos) La aproximación de ciertos problemas de red (como SVP) a pequeños factores de aproximación polinomiales está relacionada con el problema del subgrupo oculto no abeliano (que se cree que es difícil por sus propios motivos), aunque nunca he visto una fuente explícita y formal para esto.

Sin embargo, estoy más interesado en los resultados de dureza (de cualquier tipo) que surgen como resultado del problema de paridad ruidosa de la teoría del aprendizaje. Estos podrían ser resultados de dureza de la clase de complejidad, límites inferiores algorítmicos concretos, límites de complejidad de la muestra o incluso límites inferiores del tamaño de la prueba (por ejemplo, resolución). Se sabe (tal vez, es obvio) que LWE se puede ver como una generalización del problema de paridad ruidosa / paridad de aprendizaje con ruido (LPN), que (de Google) parece haberse utilizado en reducciones de dureza en áreas como la teoría de codificación y PAC aprendizaje.

Al mirar a mi alrededor, solo he encontrado (ligeramente subexponencial) LÍMITES SUPERIORES en el problema de LPN, por ejemplo, http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

Pregunta:

Sé que LPN es CREIDO DURO en la comunidad de aprendizaje. Mi pregunta es: ¿por qué?

¿Es porque todos lo intentaron realmente, pero nadie ha encontrado un buen algoritmo todavía? ¿Se conocen límites inferiores de la variedad en cursiva anterior (u otras que he dejado de lado)?

Si la respuesta es muy clara, un resumen sucinto de lo que se conoce y / o referencias a encuestas / notas de clase sería excelente.

Si se desconoce mucho, cuantos más documentos "de vanguardia", mejor. :) (Gracias de antemano!)

De hecho, se cree que el problema de LPN es difícil, pero como la mayoría de los problemas que creemos son difíciles, la razón principal es que muchas personas inteligentes han intentado encontrar un algoritmo eficiente y han fallado.

La mejor "evidencia" de la dureza de LPN proviene de la alta dimensión de consulta estadística del problema de paridad. Las consultas estadísticas capturan los algoritmos de aprendizaje más conocidos, excepto la eliminación gaussiana (que falla cada vez que se introduce ruido), el hash y técnicas similares a estos dos. Es difícil diseñar algoritmos de consulta no estadística, y este es el principal cuello de botella. Otra evidencia de la dureza de LPN es su relación con otros problemas difíciles (como LWE, SVP, como ha señalado).

Para la dureza SQ, aquí está el enlace al documento de Kearns ('98).

Para avanzar en los límites superiores de este problema, hay varios resultados:

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$