La relación de los teoremas de incompletitud de Gödel con la tesis de Church-Turing

Esta puede ser una pregunta ingenua, pero aquí va. (Editar: no está recibiendo votos positivos, pero tampoco nadie ha ofrecido una respuesta; ¿tal vez la pregunta es más difícil, oscura o poco clara de lo que pensaba?)

El primer teorema de incompletitud de Gödel puede demostrarse como un corolario de la indecidibilidad del problema de detención (por ejemplo, Sipser Ch. 6; publicación de blog de Scott Aaronson ).

Por lo que entiendo (confirmado por los comentarios), esta prueba no depende de la tesis de Church-Turing. Derivamos una contradicción al mostrar que, en un sistema formal completo y consistente, una máquina de Turing podría resolver el problema de detención. (Si, por otro lado, acabáramos de demostrar que algún procedimiento efectivo podría decidir el problema de detención, también tendríamos que asumir la tesis de la Iglesia-Turing para obtener una contradicción)

Entonces, podríamos decir que este resultado proporciona un poco de apoyo intuitivo para la tesis de la Iglesia de Turing, porque muestra que una limitación de las Máquinas de Turing implica una limitación universal. (La publicación del blog de Aaronson ciertamente respalda esta opinión).

Mi pregunta es si podemos obtener algo más concreto al ir en reversa: ¿Qué implicaciones formales tienen los teoremas de Gödel para la tesis de Church-Turing? Por ejemplo, parece intuitivamente posible que el teorema de la primera incompletitud implique que ningún procedimiento efectivo puede determinar si una máquina de Turing arbitraria se detiene; el razonamiento podría ir que la existencia de un procedimiento tal implica la capacidad de construir una completa $\omega$ teoría -consistente. ¿Es esto correcto? ¿Hay algún resultado en este sentido?

(Pregunto por curiosidad, no estudio la lógica yo mismo, así que me disculpo si esto es bien conocido o no a nivel de investigación. ¡En ese caso, considere esto como una solicitud de referencia! Gracias por cualquier comentario o respuesta !)

Pregunta que suena relacionada, pero no lo es: Teorema de la Iglesia y Teoremas de incompletitud de Gödel

EDITAR: ¡Intentaré aclarar la pregunta! Primero, mi ingenua intuición es que la incompletitud de Gödel debería implicar al menos algunas limitaciones sobre lo que es o no es computable. Estas limitaciones serían incondicionales, es decir , deberían aplicarse a todos los modelos de computación en lugar de solo a las máquinas de Turing.

Entonces me pregunto si este es el caso (debe haber alguna implicación, ¿verdad?). Suponiendo que sea así, tengo mucha curiosidad acerca de cómo impacta la Tesis de Turing de la Iglesia: la noción de que cualquier cosa efectivamente calculable puede ser calculada por una Máquina de Turing. Por ejemplo, parece posible que la existencia de un procedimiento efectivo para decidir si una máquina de Turing se detiene contradiría el primer teorema de incompletitud. Este resultado demostraría que ningún método posible de cálculo puede ser "mucho" más poderoso que las máquinas de Turing; pero es este resultado cierto? Tengo un par de preguntas similares en los comentarios. ¡Me interesaría mucho escuchar una respuesta a una de estas preguntas, un puntero a una respuesta en la literatura, una explicación de por qué mi razonamiento completo está fuera de lugar, o cualquier otro comentario!

Aquí hay una respuesta filosófica que puede entretenerlo.

Los teoremas de incompletitud de Gödel tratan sobre el sistema formal de la aritmética de Peano. Como tal, no dicen nada acerca de los modelos de computación, al menos no sin cierta cantidad de interpretación.

La aritmética de peano muestra fácilmente la existencia de funciones no computables. Por ejemplo, al ser una teoría clásica lo suficientemente expresiva como para hablar sobre las máquinas de Turing, muestra el caso particular del medio excluido que dice que cada máquina de Turing se detiene o funciona para siempre. Sin embargo, del trabajo de Gödel surgió una noción importante de computabilidad, a saber, la de una función recursiva (primitiva) . Por lo tanto, no son los teoremas mismos los que se conectan con la computabilidad, sino el método de prueba que los establece.

La esencia de los teoremas de incompletitud puede expresarse en forma abstracta utilizando la lógica de demostrabilidad, que es una especie de lógica modal. Esto le da a los teoremas de incompletitud una amplia gama de aplicabilidad mucho más allá de la aritmética y la computabilidad de Peano. Tan pronto como se satisfacen ciertos principios de punto fijo, entra en juego la incompletitud. Estos principios de punto fijo se satisfacen con la teoría de computabilidad tradicional, que por lo tanto es víctima de la incompletitud, con lo que me refiero a la existencia de conjuntos de ce inseparables. Debido a que las oraciones comprobables y refutables de la aritmética de Peano forman conjuntos ce inseparables, los teoremas de incompletitud de Gödel tradicionales pueden verse como un corolario de los fenómenos de incompletitud en la computabilidad. (Estoy siendo filosóficamente vago y te dolerá la cabeza si intentas entenderme como matemático).

Supongo que podemos tomar dos posiciones sobre cómo todo esto se relaciona con la noción informal de efectividad ("cosas que realmente se pueden calcular"):

1. Por lo que sabemos, somos un autómata finito bastante grande, capaz de contemplar superhéroes ficticios llamados "máquinas de Turing" que pueden calcular con números ilimitados (¡jadeo!). Si este es el caso, Gödel era solo un muy buen narrador. La forma en que sus historias se traducen en efectividad es, entonces, una cuestión de aplicación (necesariamente inexacta) de la imaginación a la realidad.

2. Debido a que los fenómenos de incompletitud surgen naturalmente en muchos contextos, y ciertamente en todas las nociones razonables de computabilidad, concluimos que lo mismo tiene que ser el caso para la efectividad. Por ejemplo, supongamos que podríamos enviar máquinas de Turing a los agujeros negros para calcular las máquinas de Turing de tiempo infinito de la Joel Hamkin . Esto nos da un inmenso poder computacional en el que el oráculo de detención es un juguete de jardín de infantes. Pero aún así, el modelo satisface las condiciones básicas que nos permiten mostrar la existencia de conjuntos inseparables. Y por lo tanto, una vez más, la computación no es todopoderosa y lo incompleto es un hecho de la vida.

Me gustaría enfatizar el comentario de Neel , las principales herramientas para la indecidibilidad de la detención y los teoremas de incompletitud de Godel son:

1. codificar conceptos sintácticos como pruebas, cómputos, etc. por números / cadenas y relaciones / funciones sobre ellos;
2. Teorema del punto fijo de Godel.

La codificación de objetos y conceptos sintácticos puede parecer obvio hoy en día de que estamos acostumbrados a las computadoras digitales, pero es una idea ingeniosa esencial para las computadoras y el software universales. Todo lo que se necesita para demostrar la existencia de un simulador universal se encuentra en su artículo.

Godel también muestra que podemos representar estos conceptos sintácticos y, en general, relaciones / funciones computables TM mediante fórmulas aritméticas simples.

La prueba de incompletitud de Godel en resumen es la siguiente:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

La indecidibilidad del problema de detención para TM utiliza ingredientes similares:

1. hay un TM que reconoce si el TM codificado por detiene,$Halt(x)$$x$
2. El punto fijo de Kleene para encontrar un TM st acepta iff acepta.N ¬ H un l t ( ⟨ M ⟩ $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

La indecidibilidad de detenerse para TMs es incompleta porque podemos representar en y podemos enumerar de manera computacional los teoremas de , y si está completo, podemos decidir si una TM dada se detiene o no al verificar si la fórmula correspondiente es demostrable en .T T T $Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

Lo contrario también es simple: si una teoría es ce, entonces la demostrabilidad en es decidible usando el problema de detención, por lo tanto, podríamos construir una teoría completa simplemente agregando más y más fórmulas cuyas negaciones no son demostrables. Por lo tanto, si el problema de la parada era decidible, entonces podríamos tener una extensión completa de ce .T $T$$T$$T$

Las pruebas son muy similares y usan los mismos ingredientes (aunque para alguien que está más familiarizado con los TM pero no mucho con la lógica, la indecidibilidad del problema de detención podría parecer más simple: la instancia particular del teorema del punto fijo utilizado en la prueba de indecidibilidad podría parecer más simple que la instancia particular del punto fijo utilizada en el teorema de Godel, aunque son esencialmente los mismos, pero las ideas esenciales son solo codificar objetos y conceptos sintácticos usando números / cadenas y fórmulas / funciones sobre ellos, y aplicando un teorema de punto fijo).

Creo que puede usar modelos de computación más fuertes para los teoremas, puede tomar la computabilidad con el oráculo , considerar el problema de detención de las TM con acceso al oráculo , y considerar la aritmética que tiene un predicado y axiomas que definen la gráfica de . Tendremos una situación similar para la computabilidad con respecto a .O P O ( x ) O $O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Tenga en cuenta que los teoremas de Godel se publican en 1931, mientras que la indecidibilidad de Turing se publica en 1936. En el momento de la publicación del documento de Godel, las TM no estaban definidas y Godel estaba usando otro modelo equivalente. IIRC, Godel no estaba completamente satisfecho con su resultado al establecer el objetivo original del programa de Hilbert porque no estaba convencido de que el modelo de computación que usaba realmente capturara la noción intuitiva de computabilidad algorítmica, solo estaba satisfecho después del argumento filosófico de Turing sobre la captura de TMs La noción intuitiva de computabilidad algorítmica. Creo que puedes leer más sobre esto en los trabajos recopilados de Godel.