¿Por qué los límites inferiores para los circuitos booleanos no implican circuitos aritméticos?

Mi pregunta es ¿por qué los límites inferiores para los circuitos booleanos de profundidad 3 con puertas "y" y "xor" para determinante no implican los mismos límites inferiores para los circuitos aritméticos sobre ? $\mathbb{Z}$

Lo que está mal con el siguiente argumento: Sea un determinante calculador del circuito aritmético y luego tomando todas las variables mod 2 obtendremos el determinante calculador del circuito booleano. $C$

cc.complexity-theory circuit-complexity arithmetic-circuits

— Alguien
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Para los circuitos aritméticos sobre $\mathbb{Z}$ su argumento es exactamente correcto. El mismo argumento funciona para los circuitos aritméticos sobre $\mathbb{Q}$ que no usan ninguna fracción $a/b$ donde $b$ es par.

Sin embargo, el argumento ya no funciona si habla de circuitos aritméticos sobre otros anillos, tales como: circuitos aritméticos generales sobre (es decir, sin la restricción anterior), , campos de números algebraicos, o campos finitos con . $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{F}_{q}$ $q \neq 2$

(Esta es esencialmente la misma razón por la que en la geometría algebraica menudo se considera la llamada "característica mixta", en lugar de la característica cero). $\mathbb{Z}$

Sin embargo, la profundidad de 3 Boolean reducir los límites para circuitos con {AND, OR, NOT} son menos fácilmente relacionados para bajar los límites para circuitos aritméticos más de . (Sí, {AND, XOR} es una base completa, pero por lo general la profundidad de 3 circuitos sobre {AND, OR, NOT} considera que NO tiene puertas libres, mientras que al implementar NOT con XOR está usando una puerta XOR, que realmente cuenta De manera similar, aunque , cuando implementa esta única puerta OR con AND y XOR, obtiene un pequeño dispositivo de profundidad 3.) $\mathbb{Z}$ $a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

La afirmación general es: sea un polinomio con coeficientes en un anillo , y suponga que es un homomorfismo en anillo. Mediante la aplicación a cada coeficiente de se obtiene un polinomio con coeficientes en , que voy a denotan . Entonces, un límite inferior para calcular por circuitos aritméticos implica el mismo límite inferior para calcular por circuitos aritméticos $f$ $R$ $\varphi\colon R \to S$ $\varphi$ $f$ $S$ $f_S$ $f_S$ $S$ $f$ $R$

— Joshua Grochow
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¿Cuál es el significado de

par?

b

$b$

— Suresh Venkat

Entonces, cuando tomas cosas, mod 2

tiene un mod inverso 2, es decir,

convierte

b

$b$

a / b \in Q

$a/b \in \mathbb{Q}$

y este último está bien definido.

a b^{- 1} (\mod 2)

$ab^{-1} \pmod{2}$

— Joshua Grochow

¿Significa que probar algún tipo de teorema como la división de von (es decir, que no es necesario dividir entre dos) implicará límites inferiores del circuito sobre C?

— Klim

@Klim: No. El problema es que un circuito sobre C todavía puede usar constantes irracionales (o incluso no reales), que aún no puedes tomar "mod 2".

— Joshua Grochow