Dureza de la CLIQUE parametrizada?

Deje $0\le p\le 1$ y considere el problema de decisión

CLIQUE p de entrada: número entero s , gráfico G con t vértices y bordes Pregunta: no contiene un clique sobre al menos vértices?$_p$
$s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

Una instancia de CLIQUE contiene una proporción de todos los bordes posibles. Claramente, CLIQUE es fácil para algunos valores de . CLIQUE contiene solo gráficos completamente desconectados, y CLIQUE contiene gráficos completos. En cualquier caso, CLIQUE se puede decidir en tiempo lineal. Por otro lado, para valores de cercanos a , CLIQUE es NP-duro por una reducción de CLIQUE: esencialmente, es suficiente tomar la unión disjunta con el gráfico de Turán .$_p$$p$$_p$$p$$_0$$_1$$_p$$p$$1/2$$_p$ $T(t,s-1)$

Mi pregunta:

¿Está CLIQUE en PTIME o NP-complete para cada valor de ? ¿O hay valores de para los cuales CLIQUE tiene una complejidad intermedia (si P ≠ NP)?$_p$$p$$p$$_p$

Esta pregunta surgió de una pregunta relacionada con hipergrafías, pero parece interesante por derecho propio.

Supongo que el número en la definición del problema CLIQUE _p es exactamente igual al número de bordes en el gráfico, a diferencia del comentario de gphilip a la pregunta.$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

El problema CLIQUE _p es NP-completo para cualquier constante racional 0 < p <1 por una reducción del problema CLIQUE habitual. (La suposición de que p es racional solo es necesaria para que pueda calcularse desde N en el tiempo polinomial en N ).$\lceil pN \rceil$

Sea k ≥3 un número entero que satisfaga tanto k ² ≥1 / p como (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Dado un gráfico G con n vértices ym aristas junto con un valor umbral s , la reducción funciona de la siguiente manera.

1. Si s < k , resolvemos el problema CLIQUE en el tiempo O ( n ^s ). Si hay una camarilla de tamaño al menos s , producimos una instancia de sí fija. De lo contrario, producimos una no instancia fija.
2. Si n < s , producimos una no-instancia fija.
3. Si n ≥ s ≥ k , agregamos a G un gráfico ( k −1) -partito donde cada conjunto consta de n vértices que tienen exactamente bordes , y produce este gráfico.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Tenga en cuenta que el caso 1 toma O ( n ^{k −1} ) tiempo, que es polinomial en n para cada p . El caso 3 es posible porque si n ≥ s ≥ k , entonces no es negativo y, como máximo, el número de aristas en elgráficocompleto (k−1) -partido K_{n, ...,n}como se muestra en las siguientes dos reivindicaciones.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Reclamación 1 . .$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Prueba . Desde , es suficiente si probamosp ( n$m \le \binom{n}{2}$ , o equivalentementepnk(nk−1) ≥n(n−1). Comop≥ 1 /k², tenemospnk(nk−1) ≥n(n−1 /k) ≥n(n−1). QED.$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

Reclamación 2 . . (Tenga en cuenta que el lado derecho es el número de aristas en el gráfico parcial completo (k − 1) K_{n, ...,n}.)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Prueba . Desde y m ≥ 0, es suficiente si demostramos p ( n $\lceil x \rceil \lt x+1$ , o equivalentementen²(k−1) (k−2) -pnk(nk−1) - 2 ≥ 0. Dado quep<(1−1 /k) (1−2 /k), tenemos n2(k-1)(k-2)-pnk(nk-1)-2≥n2(k-1)(k-$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

Editar : La reducción en la Revisión 1 tuvo un error; a veces requería un gráfico con un número negativo de aristas (cuando p era pequeño). Este error está solucionado ahora.

$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$