La motivación para usar las reducciones de Karp en la teoría de la completitud de

La noción de reducciones de tiempo polinomiales (reducciones de Cook) es una abstracción de un concepto muy intuitivo: resolver eficientemente un problema utilizando un algoritmo para un problema diferente.

Sin embargo, en la teoría de la completitud de , la noción de dureza de N P se captura mediante reducciones de mapeo (reducciones de Karp). Este concepto de reducciones "restringidas" es mucho menos intuitivo (al menos para mí). Incluso parece un poco artificial, ya que crea una noción algo menos intuitiva de dureza; con esto me estoy refiriendo al hecho de que N P no contiene no trivial C O - N P . Aunque en la teoría de la complejidad estamos muy acostumbrados al concepto de que poder resolver un problema como S A T no implica que podamos resolver ¯ S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$, en entornos naturales (que son capturados por las reducciones de Cook), suponiendo que tengamos un algoritmo para resolver , podemos resolver ¯ S A T simplemente ejecutando el algoritmo para S A T y devolviendo lo contrario.$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

Mi pregunta es ¿por qué deberíamos usar las reducciones de Karp para la teoría de la completitud de ? ¿Qué noción intuitiva captura? ¿Cómo se relaciona con la forma en que entendemos la "dureza de la computación" en el mundo real?$\mathcal{NP}$

Al igual que las reducciones de Turing, muchas reducciones entraron en la teoría de la complejidad de la literatura de la teoría de la recursividad / computabilidad. Las reducciones de Cook y Karp son versiones teóricas de complejidad natural de reducciones existentes similares en computabilidad.

Hay una manera intuitiva de explicar las reducciones de muchos: es una restricción de las reducciones de Turing donde solo podemos hacer una sola pregunta al oráculo y la respuesta del oráculo será nuestra respuesta.

Ahora la pregunta es ¿por qué necesitaríamos estudiar esto (y cualquier otro tipo de reducciones como la tabla de verdad, la tabla de verdad débil, etc.)?

Estas reducciones dan una imagen más fina que las reducciones de Turing. Las reducciones de Turing son demasiado poderosas para distinguir entre muchos conceptos. Una gran parte de la teoría de la computabilidad está dedicada al estudio de los grados ce / re. La noción de un conjunto ce es central. Podemos tener una máquina TM que pueda enumerar un conjunto infinito, es posible que no podamos enumerar su complemento. Si desea estudiar los conjuntos ce, la reducción de Turing es demasiado fuerte ya que los conjuntos ce no están cerrados debajo. Muchas reducciones son una (y quizás la) forma natural de definir reducciones para este propósito.

Otros tipos de reducciones se definen por razones similares. Si está interesado, le sugiero que consulte la "Teoría de la recursión clásica" de Piergiorgio Odifreddi. Tiene un capítulo bastante completo sobre diferentes reducciones y sus relaciones.

Ahora, para la teoría de la complejidad, el argumento es similar. Si acepta que es una clase de problemas extremadamente natural y desea estudiar N P , entonces las reducciones de Cook son demasiado fuertes. La selección natural es una reducción más débil tal que N P se cierra debajo de ella y podemos probar la existencia de un problema WRT completa a los que la reducción de N P . Las reducciones de Karp son la elección natural para este propósito.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Hay varias preguntas en este sitio relacionadas con las reducciones de Cook vs Karp. No he visto una descripción muy clara de esto para el neófito porque es algo intrínsecamente sutil en muchos sentidos y es un área de investigación activa / abierta. Aquí hay algunas referencias que pueden ser útiles para abordarlo. Como resume Wikipedia, "las reducciones de muchos son valiosas porque la mayoría de las clases de complejidad bien estudiadas están cerradas bajo algún tipo de reducibilidad de muchos, incluyendo P, NP, L, NL, co-NP, PSPACE, EXP y muchos otros. Sin embargo, estas clases no están cerradas bajo reducciones arbitrarias de muchos ".

parece justo decir que incluso los teóricos avanzados están reflexionando activamente sobre la distinción y las diferencias exactas como en las referencias a continuación y la historia completa no estará disponible a menos que se resuelvan importantes separaciones de clase de complejidad abierta, es decir, estas preguntas parecen ir al centro de lo conocido vs desconocido.

[1] Cook versus Karp-Levin: Nociones de completitud de separación si NP no es pequeño (1992) Lutz, Mayordomo

[2] ¿Cook y Karp son siempre iguales? Beigel y Fortnow

[3] Más problemas NP-completos (PPT) ver diapositivas 9-14 sobre historia y distinciones de reducción de Cook vs Karp