¿Qué tan cerca podemos llegar a multiplicar, sumar y comparar lineal (en enteros)?

Según el artículo de KW Regan "Connect the Stars" , menciona al final que todavía es un problema abierto encontrar una representación de enteros de tal manera que las operaciones de suma, multiplicación y comparación sean computables en tiempo lineal:

¿Existe una representación de enteros para que la suma, la multiplicación y la comparación sean factibles en tiempo lineal? Básicamente, ¿hay un anillo lineal ordenado discretamente?

(1) ¿Qué tan cerca podemos llegar a la multiplicación y suma lineal del tiempo, sin comparaciones? Aquí supongo que los tamaños del problema pueden variar, por lo que es posible que necesitemos una estructura de datos / algoritmo que permita cambiar los tamaños de los enteros.

(2) Para el problema completo, podemos suponer que encontraremos un esquema óptimo para multiplicar, sumar y comparar en los enteros. ¿Qué tan cerca podemos llegar la más lenta de estas tres operaciones (en el peor de los casos) hacia el tiempo lineal? Y en esa nota, ¿qué tan rápido serían las otras operaciones?

DECLARACIÓN DE PROBLEMA FORMAL

Como Emil Jeřábek menciona, nos gustaría descartar casos triviales y concentrarnos en el peor de los casos para esta pregunta.

Así que nos preguntamos, para los enteros no negativos $\forall x$ , y donde y , podemos encontrar una estructura de datos / algoritmo que puede realizar sumas, multiplicaciones y se compara con \ entre e en $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ tiempo yespacio? $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— Matt Groff
fuente

Mencionaré que es posible crear un esquema que realice estas operaciones en el tiempo

en enteros no negativos, donde

es el tamaño de bits del entero más grande (suponiendo que sepamos

antes de tiempo). Me pregunto si podemos hacerlo mejor, y hacerlo a tiempo proporcional al número entero actual que se está calculando.

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— Matt Groff el

@TysonWilliams: ¡Sí! ¡Binario!

— Jeffε

En lugar de obtener tiempo lineal para todas estas operaciones, ¿hay una representación de enteros para que todas estas operaciones tengan tiempo

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

En realidad, hay una respuesta positiva trivial: representar enteros en binario con

bits de relleno. ¿No debería la declaración incluir alguna condición en el sentido de que la representación debería tener una longitud lineal en la longitud de la representación binaria?

n^{2}

$n^2$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

@ EmilJeřábek: Supongo que quiere que la representación de cualquier número entero

use

bits, para alguna función

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

— Jeff el

Probablemente no sea la mejor respuesta, pero quizás este sea un punto de partida útil. Si deseamos representar un número entero no negativo, podemos almacenarlo como un conjunto de números primos secuenciales modulares de residuos a partir de 2. En esta forma, la comparación es potencialmente difícil, pero la multiplicación y la suma se pueden hacer con bastante rapidez. El producto de los primeros primos se aproxima por Por lo tanto, para representar un entero se requieren módulos de los primeros primos, donde $n$

{pags}_{norte} # # = Exp ((1 + o (1)) norte Iniciar sesión norte) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

. Como podemos representar cualquier

usando el módulo de residuos los primeros

residuos primos, podemos tomar

. La suma y la multiplicación se pueden hacer directamente entre pares de residuos. Hay

estos pares, con el primo máximo alrededor de

. Por lo tanto, la adición debe estar en

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

, mientras que la multiplicación a través de Schonhage-Strassen debe estar en

. Como

, entonces una aproximación aproximada da

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$ . Esto daría la complejidad de la suma y la multiplicación como aproximadamente

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— Joe Fitzsimons
fuente

véase también el teorema del resto chino

— vzn

@vzn: Sí, iba a mencionar eso para las comparaciones, pero luego se me ocurrió que podría haber una operación de comparación más rápida a través de una representación mixta de radix.

— Joe Fitzsimons