Cálculo del cierre del sindicato


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Dada una familia de a lo sumo n subconjuntos de { 1 , 2 , ... , n } . El cierre unión F es otra familia conjunto C que contiene cada conjunto que puede ser construido mediante la adopción de la unión de 1 o más conjuntos en F . Por | C | denotamos el número de juegos en C .Fnorte{1,2,...,norte}FCFEl |CEl |C

¿Cuál es la forma más rápida de calcular el cierre de la unión?

He mostrado una equivalencia entre el cierre de la unión y la lista de todos los conjuntos independientes máximos en un gráfico bipartito, por lo tanto, sabemos que decidir el tamaño del cierre de la unión es # P-completo.

Sin embargo, hay una manera de enumerar todos los conjuntos independientes máximos (o camarillas máximas) en el tiempo para un gráfico con n nodos y m bordes Tsukiyama et al. 1977. Pero esto no está especializado para gráficos bipartitos.O(El |CEl |nortemetro)nortemetro

Dimos un algoritmo para gráficos bipartitos con tiempo de ejecución http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdfEl |CEl |Iniciar sesiónEl |CEl |norte2

Nuestro método se basa en la observación de que cualquier elemento en puede hacerse mediante la unión de algún otro elemento de C y uno de los conjuntos originales. Por lo tanto, cada vez que agreguemos un elemento a C, intentaremos expandirlo en uno de los n conjuntos originales. Para cada uno de estos n | C | Establece que necesitamos para comprobar si todavía están en C . Almacenamos C como un árbol de búsqueda binario, por lo que cada búsqueda toma log | C | n tiempo.CCCnortenorteEl |CEl |CCIniciar sesiónEl |CEl |norte

¿Es posible encontrar el cierre de la unión en el tiempo O ( | C |n 2 ) ? ¿O incluso a tiempo O ( | C |n ) ?CO(El |CEl |norte2)O(El |CEl |norte)


En la equivalencia que ha mostrado entre el cierre de la unión y el ind. Máximo. establece en gráficos bipartitos, ¿es la equivalencia una biyección? O, en otras palabras, en su algoritmo para enumerar todas las ind. conjuntos de un gráfico bipartito, es el número de ind. conjuntos? El |CEl |
Vinayak Pathak

Sí, es una biyección, así que es el número de conjuntos independientes máximos. (tenga en cuenta que el conjunto vacío debe definirse para estar en C ). El |CEl |C
Martin Vatshelle

Si bien es poco probable que esto ayude con su pregunta, lo que está preguntando es un caso especial de cálculo del cierre ascendente de elementos en una red, y me pregunto si hay resultados a partir de ahí que puedan ser útiles.
Suresh Venkat

La encuesta a la que apunto en mi respuesta a continuación ofrece algunos enlaces con redes.
M. kanté

Respuestas:


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La complejidad de enumerar conjuntos independientes máximos en gráficos es la misma que en los gráficos bipartitos, por lo que la bipartididad no aporta nada nuevo.

O(El |CEl |norte2)

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