Familia Sperner que maximiza los subconjuntos de una partición

Deje que $A$ sea un conjunto de tamaño $k$ y $B$ sea un conjunto de tamaño $\ell$ , para fijo $k$ y $\ell$ , y tal que $A\cap B=\emptyset$ . ¿Cuál es la (o a) familia Sperner $\mathcal{F}$ en $A\cup B$ para la cual $\mathcal{F}_B=\{C\cap B ~:~ C\in\mathcal{F}\}$ está maximizada?

De hecho, solo necesito un límite superior para $|\mathcal{F}_B|$ (posiblemente algo mejor que $2^\ell$ , que parece estar suelto si $2^k<\ell$ )

Cualquier sugerencia o referencia donde se pueda encontrar este tipo de información o material relevante sería muy apreciada. Gracias.

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— Matteo
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El límite superior correcto es la suma de los $2^k$ coeficientes binomiales más centrales: o simplemente if . Los conjuntos son antichains. Por la desigualdad LYM, la unión de antichains no puede ser mayor que la suma de los mayores coeficientes binomiales . Para lograr el límite, deje , y deje

| F_{B} | \leq (\binom{ℓ}{⌊ (ℓ - 2^{k}) / 2 + 1 ⌋}) + \dots + (\binom{ℓ}{⌊ (ℓ + 2^{k}) / 2 ⌋}),

$|\mathcal{F}_B|\leq\binom \ell {\lfloor (\ell - 2^k)/2+1\rfloor} + \dots + \binom \ell {\lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor},$

| F_{B} | \leq 2^{ℓ}

$|\mathcal{F}_B|\leq 2^\ell$

2^{k} \geq ℓ + 1

$2^k\geq \ell+1$

{B \cap C ∣ C \in F and A \cap C = A^{'}}

$\{B\cap C\mid C\in\mathcal F\text{ and }A\cap C=A'\}$

2^{k}

$2^k$

2^{k}

$2^k$

A = {a_{0}, \dots, a_{k - 1}}

$A=\{a_0,\dots,a_{k-1}\}$

F = {C \subseteq A \cup B ∣ ⌊ (ℓ + 2^{k}) / 2 ⌋ - \sum_{i : a_{i} \in C} 2^{i} = | C \cap B |} .

$\mathcal F=\left\{C\subseteq A\cup B \mid \lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor- \sum_{i\colon a_i\in C} 2^i=|C\cap B| \right\}.$

— Colin McQuillan
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Gracias Colin Creo que es la respuesta correcta, ya que obtuvimos el mismo resultado de una manera mucho más complicada.

— Matteo