Dimensión VC de polinomios (en una variable) de grado d

Las funciones lineales en una variable tienen dimensión VC = 3 y recuerdo haber leído en alguna parte que el VC para polinomios de grado es . $d$ $(d^2 + 3d + 2)/2$

Estoy buscando ideas que puedan probar la afirmación anterior (y tal vez generalizar a muchas variables también, aunque eso parece demasiado esperar).

Cualquier enfoque, incluso uno incompleto, será apreciado.

Para definir el problema correctamente: Dado un plano (coordenadas 2D, x e y), ¿cuál es el tamaño del conjunto máximo que puede romperse si puede usar funciones de clasificación que son polinomiales ( ) de grado en el modo , y puede elegir qué lado de la curva desea etiquetar como positivo. $y=p(x)$ $d$

Por ejemplo, etiquete (x, y) como positivo iff . $y > x^2 +5x +9$

cg.comp-geom vc-dimension

— Karan
fuente

No trabajo en el área, pero me gustaría entender la pregunta. ¿Cuál es el dominio y el rango de estas funciones? ¿Podría explicar un poco cómo las funciones lineales en una variable tienen VC dimensión 3?

— Robin Kothari

La declaración se reformula mejor como: espacios de rango definidos por rangos que pueden expresarse como desigualdades

f (x) \leq 0

$f(x) \le 0$ donde f (x) es una función lineal que tiene VC dimensión 3 (esto se debe a que este espacio de rango es el espacio de rango de la mitad espacios en 2D)

— Suresh Venkat

@Suresh: Gracias por la aclaración. Por su respuesta, supongo que la pregunta general es cuál es la dimensión VC de los espacios de rango definidos por las funciones de grado d (en lugar de lineal)

donde

, en lugar de

f (x) \leq 0

$f(x) \leq 0$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— Robin Kothari

Respuestas:

El método básico funciona así: suponga que sus desigualdades son de la forma

\sum_{i \leq d} a_{i} x^{i} \leq 0

$\sum_{i \le d} a_i x^i \le 0$

Luego construye un mapa de elevación a un espacio de dimensión superior en el que cada monomio corresponde a una dimensión. Ahora el polinomio se puede expresar como una combinación lineal de las nuevas dimensiones y puede invocar el resultado habitual para medios espacios en el espacio resultante.

No estoy seguro de dónde obtiene su límite: la expresión correcta para la dimensión VC de polinomios en d variables de grado D es , que es el número de monomios de grado como máximo D formado a partir de variables d. $\binom{d + D}{d}$

— Suresh Venkat
fuente

Derecha. Pero el OP no dijo cuántas variables había.

— Suresh Venkat

Mis desigualdades implican y y un polinomio en x. He realizado algunos cambios en el problema, con la esperanza de definir el problema más exactamente.

— Karan

Y acc. Para el problema que he declarado, las cuadráticas en x deberían romper al menos 4 puntos (que puedo ver) y acc. a la fórmula que le di, ¡debería romper 6 puntos! (aunque no estoy seguro si se mantiene)

— Karan

La fórmula es un límite superior.

— Suresh Venkat

En su problema modificado, la respuesta es D + 1

— Suresh Venkat

Lo siguiente está basado en el libro Discrepancia geométrica de Jiri Matousek .

Defina un espacio de rango en parametrizado por siguiente manera. Sea un polinomio de grado en las variables . Para cada , el conjunto se define como $\mathbb{R}^d$ $a_1, \ldots, a_p$ $f$ $D$ $d + p$ $a \in \mathbb{R}^p$ $S(a)$ $S(a) = \{x \in \mathbb{R}^d: f(x, a) \leq 0\}$ . Por ejemplo, los círculos se definen como . $(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 - 1 \leq 0$

Podemos obtener un límite en una cantidad que es más delicada que la dimensión VC en este modelo. Defina como el número máximo de conjuntos distintos inducidos por en cualquier conjunto de puntos , es decir, donde el máximo se toma sobre conjuntos de puntos. Este es el $\pi(m)$ $\{S(a)\}$ $m$

π (metro) = max_{X \subseteq R^{re}} El | {S (una) \cap X} El |,

$\pi(m) = \max_{X \subseteq \mathbb{R}^d}{|\{S(a) \cap X\}|},$

X

$X$

m

$m$ función de fragmentación primaria del espacio de rango

. Observe que la dimensión VC del espacio de rango es el máximo

tal que

. Además, si la dimensión VC de un espacio de rango es

, entonces su función de ruptura está limitada por

{S (a)}

$\{S(a)\}$

m

$m$

π (m) = 2^{m}

$\pi(m) = 2^m$

k

$k$

O (m^{k})

$O(m^k)$

Para polinomios , es un patrón de signos si existe algún tal que para todo el signo de es $m$ $f_1(a), \ldots, f_m(a)$ $\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_m) \in \{-, +\}^m$ $a$ $i$ $f_i(a)$ $\sigma_i$ . Un resultado de la geometría algebraica es que el número máximo de patrones de signos distintos de polinomios de grado en las variables está limitado por . $m$ $D$ $p$ $2^{O(p)}(Dm/p)^p$

Usemos este teorema. Defina . Lo conseguimos es exactamente el número de patrones de signos distintos de . Entonces, en particular, si un espacio de rango está dado por una familia de polinomios de grado constante en parámetros, su función de ruptura está limitada por . $f_i(a) = f(x^i, a)$ $|\{S(a) \cap X\}|$ $f_1, \ldots, f_m$ $p$ $O(m^p)$

— Sasho Nikolov
fuente