En el artículo Quantum Random Walks Hit Exponencialmente más rápido ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe da una noción del tiempo de golpeo para caminatas cuánticas (en el hipercubo) que no es muy popular en la literatura de la caminata cuántica. Se define de la siguiente manera:
One-Shot Quantum Golpear Tiempo: Un paseo de tiempo discreto cuántica tiene una de una sola vez ( | Psi 0 ⟩ , | Psi f ⟩ ) tiempo -hitting si | ⟨ Psi f | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ p donde | Ψ 0 ⟩ es el estado inicial, | Ψ f ⟩ es el estado de destino, y p > 0 es la probabilidad de golpear
Normalmente le gustaría saber el mínimo tal que p > 0 . No es posible (corríjame si me equivoco) definir una noción de tiempo promedio de golpe porque necesitará realizar mediciones durante la caminata, y eso la colapsaría en una caminata clásica. Por eso tenemos la noción de una sola vez. En el mismo trabajo, hay una aplicación para el enrutamiento cuántico (véase la sección 5 ).
Para saber que la caminata llegó al vértice objetivo, debe realizar una medición solo en ese nodo. Por ejemplo, en el hipercubo dimensional con 2 n nodos si comienza en el nodo | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩ y tienen como nodo de destino | Ψ f ⟩ , los espectáculos de papel que T = O ( n ) con una probabilidad de error limitado, es decir, p → 1 como nse vuelve muy grande. Entonces, para detectar que la caminata llegó a que hacer una medición después de Ohmio ( n ) pasos. Esta es una aceleración exponencial.
Preguntas:
Para usar esta noción de tiempo de búsqueda para la búsqueda, necesita saber al menos la distancia del vértice objetivo desde el origen, porque así es como sabe cuándo aplicar su medición. Supongamos que tiene un gráfico y lo establece como vértice inicial v 0 y desea alcanzar v f . Supongamos también que T = O ( d i s t ( v 0 , v f ) ) y p ≥ 1 / 2 . Bueno tes obvio porque necesitas al menos tantos pasos para alcanzarlo. ¿Tiene sentido usar este tiempo de búsqueda para la búsqueda? Si sabes dónde está el nodo, no tiene sentido buscar, pero tener una información como "distancia desde el vértice inicial" pero no saber exactamente dónde está el objetivo, ¿esta noción de tiempo de golpeo da algo interesante (vale la pena estudiar? ) algoritmo de búsqueda?
¿Tiene sentido la aplicación al enrutamiento cuántico? En el documento dice que puede usarse para enrutar paquetes, pero me parece que solo puede enviar 1 bit, por ejemplo, ¿llegó al destino o no? ¿Se puede realmente enviar un estado cuántico en este marco? En el documento, este problema no se está abordando.
Esta es quizás una pregunta tonta, pero aquí va. ¿Puedes usar esta noción de tiempo de golpe para construir un "interferómetro generalizado Mach-Zender"?
Soy consciente de las otras nociones de tiempos de bateo para caminatas cuánticas (como las de Szegedy's o Ambainis ). Estoy particularmente interesado en este tiempo de golpe específico.
Actualización (9/24/2010): Gracias a Joe Fitzsimons las preguntas 2 y 3 fueron respondidas por completo. Aunque la pregunta número 1 aún permanece. Primero, volveré a plantear la pregunta 2 en términos más específicos ahora que terminé de leer el documento que Joe me recomendó a mí y a un par más (por ejemplo, consulte arXiv: 0802.1224 ), y luego daré un ejemplo concreto de lo que tengo en mente para la pregunta 1.
2 '. Si está enviando un mensaje concreto (como una secuencia de bits clásicos), puede usar un unitario más complicado que copiará esta información durante los pasos de la caminata. Para enviar estados cuánticos necesitas algo más. El canal de cadenas giratorias utiliza una matriz lineal de qubits con un acoplamiento fijo. Puede poner el estado (estado puro, no sé si funciona para estados mixtos) que desea transmitir en un extremo y va al otro extremo con alta fidelidad según los resultados numéricos. Todavía tengo que pensarlo más, pero tengo dos ideas: i) poner una cadena en cada enlace del gráfico, o ii) hacer la caminata, encontrar el estado objetivo, luego hacer el canal entre el estado inicial y el objetivo y luego enviar el estado. ¿Alguno de estos enfoques es posible? ¿Funciona con estados mixtos?
1 '. Considere una caminata en una cuadrícula bidimensional centrada en el origen con nodos con cada lado con longitud √ . Establezca el estado inicial env0=(0,0)y el estado objetivo envf=( √dondea=0,…, √. Debido a que la caminata es simétrica, tenemos el mismo tiempo de golpe y las mismas probabilidades de golpe para cualquier objetivo en algún lugar en el borde de la cuadrícula como se muestra a continuación.
Por lo tanto, la información que tenemos es que . Podemos usar esto para saber cuándo hacer la medición. ¿Se puede usar el tiempo de golpe único para buscar en esta cuadrícula? Aquí necesitas esa información. Un problema abierto al buscar una cuadrícula es que sabemos queΩ( √es un límite inferior para la búsqueda, y para las cuadrículas el mejor límite superior esO( √. O no estamos siendo capaces de encontrar un algoritmo mejor, o las técnicas para probar los límites inferiores cuando los usas en cuadrículas están dando un límite inferior débil. ¿Puedes demostrar que la única forma de ir abajo √ es tener "una información" como la de la pregunta? Esto implicaría una forma de probar un límite inferior para las cuadrículas. ¿Tiene algún sentido?