Complejidad de clasificación

No es difícil mostrar que ordenar una matriz de números es difícil para . Si la entrada es una matriz de 1s y 0s, entonces es esencialmente la función C o u n t (dados n bits, genera el número de 1s en binario) ya que C o u n t está completo para T C 0 y es posible para convertir números unarios en números binarios y (logarítmicamente) pequeños números binarios en números unarios en A C$\mathsf{TC^0}$$Count$$n$$Count$$\mathsf{TC^0}$ :$\mathsf{AC^0}$

S o r t ( → x ) = U n a r y ( C o u n t ( → $Count(\vec{x}) = Binary(Sort(\vec{x}))$
$Sort(\vec{x}) = Unary(Count(\vec{x}))$

Entonces el poder de es esencialmente ordenar una cadena binaria (por ejemplo, 100011 a 000111). Esto es cierto más generalmente cuando los números en la matriz están delimitados. Mi pregunta es ¿qué pasa si los números no están acotados?$\mathsf{TC^0}$

¿El problema de ordenar una matriz de números sin límites todavía está en ? ¿Está completo para una clase más grande como N C 1 ?$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$

Supongamos que tiene números x 1 , ... , x n de ancho m ≥ log n . Sin pérdida de generalidad, todos los números son diferentes (agregue un registro adicional n bits de orden inferior). Se pueden comparar dos números en AC ⁰ , por lo que en AC ⁰ podemos calcular, para cada x i , un vector binario v , definido por v j = 1 si x j ≥ x i . En TC ⁰ podemos ordenar v $n$$x_1,\ldots,x_n$$m \geq \log n$$\log n$$x_i$$v$$v_j = 1$$x_j \geq x_i$$v$ a$w$ , y luego ubique (en AC ⁰ ) la posición tal que w k = 1 mientras w k - 1 = 0 (donde w 0 = 0 , w n + 1 = 1 ). Dados estos valores k para cada i ∈ [ n ] , podemos calcular la matriz ordenada en AC ⁰ . En total, obtenemos un circuito TC ⁰ .$k$$w_k = 1$$w_{k-1} = 0$$w_0=0$$w_{n+1}=1$$k$$i \in [n]$