¿Hay alguna clase de funciones que requieran recursos demostrablemente diferentes para calcular en lugar de calcular su inversa?

Disculpas de antemano si esta pregunta es demasiado simple.

Básicamente, lo que quiero saber es si hay alguna función $f(x)$ con las siguientes propiedades:

Tome $f_n(x)$ como $f(x)$ cuando el dominio y el codominio están restringidos a cadenas de $n$ bits. Luego

1. $f_n(x)$ es inyectiva
2. $f_n(x)$ es surjective
3. $f_n(x)$ requiere estrictamente menos recursos (espacio / tiempo / profundidad del circuito / número de compuertas) para calcular bajo un modelo razonable que$f^{-1}_n(y)$ , donde$y=f_n(x)$ .
4. La diferencia de recursos para $f_n(x)$ vs $f^{-1}(y)$ escala como una función estrictamente creciente de $n$ .

Puedo encontrar ejemplos en los que la función sea sobreyectiva o inyectiva, pero no ambas, a menos que recurra a un modelo computacional artificial. Si elijo un modelo computacional que permite desplazamientos a la izquierda en unidad de tiempo en algún anillo, pero no desplazamientos a la derecha, entonces, por supuesto, es posible obtener una sobrecarga lineal (o superior si considera que una permutación más complicada es primitiva) . Por esta razón, solo me interesan los modelos razonables, por lo que me refiero principalmente a máquinas de Turing o circuitos NAND o similares.

Obviamente, esto debe ser cierto si $P\neq NP$ , pero parece que esto también es posible si $P=NP$ , por lo que no debería equivaler a decidir esa pregunta.

Es completamente posible que esta pregunta tenga una respuesta obvia o un obstáculo obvio para responder, lo que me he perdido.

Me pidieron que volviera a publicar mi comentario. Señalé este artículo de Hastad, que muestra que existen permutaciones en que son P-difíciles de invertir:$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)

Para circuitos booleanos sobre una base binaria completa (siendo la medida de complejidad el número de puertas en un circuito mínimo), la relación más conocida para permutaciones C ( f - 1$C(f)$. Hasta donde yo sé, la mejor constante fue obtenida eneste trabajopor Hiltgen y es igual a 2.$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

Editar. Como desea que la proporción aumente cuando crece, esto no responde a su pregunta. Sin embargo, para los circuitos booleanos sobre una base binaria completa, no se conoce nada mejor.$n$

En primer lugar, quería señalar que la surjectividad no está bien definida sin definir primero el codominio de la función. Entonces, en mi descripción a continuación, me referiré explícitamente al codominio sobre el cual la función es sobreyectiva.

Tanto el logaritmo discreto como las funciones RSA son permutaciones que se conjetura que son difíciles de invertir. A continuación, describiré la función de logaritmo discreto.

$p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$