¿La norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad siendo una implica que estas dos matrices de densidad pueden ser diagonalizables simultáneamente?

Creo que la respuesta a esta pregunta es bien conocida; pero, desafortunadamente, no lo sé.

En computación cuántica, sabemos que los estados mixtos están representados por matrices de densidad. Y la norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad caracteriza la distinción de los dos estados mixtos correspondientes. Aquí, la definición de la norma de traza es la suma de todos los valores propios de la matriz de densidad, con un factor multiplicativo adicional 1/2 (de acuerdo con la diferencia estadística de dos distribuciones). Es bien sabido que, cuando la diferencia de dos matrices de densidad es una, entonces los dos estados mixtos correspondientes son totalmente distinguibles, mientras que cuando la diferencia es cero, los dos estados mixtos son totalmente indistinguibles.

Mi pregunta es, ¿la norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad siendo una implica que estas dos matrices de densidad pueden ser diagonalizables simultáneamente? Si este es el caso, entonces tomar la medida óptima para distinguir estos dos estados mixtos se comportará como distinguir dos distribuciones sobre el mismo dominio con soporte disjunto .

Aquí hay una manera de demostrar el hecho que le interesa.

$\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Para llegar a esta conclusión, tenga en cuenta primero que y , entonces . Luego, tome y para que sean las proyecciones ortogonales en las imágenes de y , respectivamente. Tenemos so Ambos y$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$debe estar contenido en el intervalo [0,1], del cual concluimos que y . De estas ecuaciones no es difícil concluir y , y por lo tanto por la ecuación anterior. Un argumento similar muestra .$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Si. Si la distancia de rastreo de dos matrices de densidad es igual a 1, entonces tienen soportes ortogonales y, por lo tanto, son diagonalizables simultáneamente.