¿Es BQP igual a BPP con acceso a un oráculo de subgrupos ocultos abelianos?

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— Jason
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En realidad, hay una buena cantidad de trabajo sobre problemas de subgrupos ocultos no abelianos en la investigación de algoritmos cuánticos, ¡así que ciertamente espero que este no sea el caso!

— Joe Fitzsimons

@ Joe: Pensé que la mayor parte del trabajo en HSP no abelianos era para grupos que de alguna manera están "cerca de Abelian", pero corríjame si me equivoco, ya que no soy un experto en el área. Pero si ese es el caso, entonces una respuesta positiva a la pregunta podría no contradecir los trabajos a los que se refiere.

— Joshua Grochow

Respuestas:

Al igual que muchas separaciones de clase de complejidad, nuestra mejor suposición es que la respuesta es que BPP ^ {HSP}! = BQP, pero solo podemos probar esto rigurosamente en relación con los oráculos. Scott Aaronson observó esta separación en esta publicación de blog donde observó que la aceleración de árboles soldados de Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann y Spielman no estaba contenida en SZK.

Por otro lado, BPP ^ {HSP} está contenido en SZK, al menos si el objetivo es determinar el tamaño del subgrupo oculto. Esto incluye incluso el abelian HSP, aunque no estoy seguro de cómo encontrar exactamente los generadores de un subgrupo oculto arbitrario en SZK. La razón por la que podemos decidir el tamaño del subgrupo oculto es que si f: G-> S tiene un subgrupo oculto H, y elegimos g uniformemente al azar de G, entonces f (g) es uniformemente aleatorio sobre un conjunto de tamaños | G | / | H |. En particular, f (g) tiene entropía log | G | - log | H |. Y la estimación de entropía está en SZK.

— Aram Harrow
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¡Sabía que había visto una publicación de blog sobre esto en alguna parte!

— Joe Fitzsimons

No tengo idea de cómo se podría refutar una afirmación como esa, pero dudo que sea cierto. Tenemos otras aceleraciones exponenciales mediante algoritmos cuánticos que no dependen del Abelian HSP. Además, no se sabe que Abelian HSP sea BQP completo.

Por otro lado, los problemas que se sabe que son completos para BQP son problemas como calcular invariantes de nudos, otras múltiples invariantes, funciones de partición y hacer simulación hamiltoniana. Con un oráculo para cualquiera de estos problemas, BPP sería tan poderoso como BQP.

Finalmente, estoy seguro de que uno puede construir una separación de oráculo entre las dos clases que menciona, pero esa no sería una forma justa de compararlas, ya que una clase puede hacer consultas cuánticas y la otra no, por lo que la separación simplemente reflejaría este hecho .

— Robin Kothari
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¿Cuáles son las referencias sobre problemas con aceleraciones superpolinomiales que no dependen del Abelian HSP?

— Marcos Villagra

una pregunta más precisa es "¿cuáles son las referencias sobre problemas con aceleraciones superpolinomiales que no dependen en absoluto del HSP?"

— Marcos Villagra

El zoológico de algoritmos cuánticos ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) tiene una gran lista de algoritmos y referencias para cada uno.

— Robin Kothari

@ Joshua: Esas separaciones de oráculo están bien, porque están tratando de exhibir el poder de las consultas cuánticas. Permítanme dar un ejemplo de lo que quiero decir. Si hubiera un algoritmo de polytime para 3SAT, y que este algoritmo se llame X. Claramente, P ^ X contiene NP. Sin embargo, podemos construir una separación de oráculo entre P ^ X y NP, porque en el primer caso solo la máquina P puede acceder al oráculo, y la separación simplemente refleja el hecho de que las consultas no deterministas son mejores que las consultas deterministas. Del mismo modo, incluso si BPP ^ AHSP contenía BQP, podríamos separarlos con un oráculo con bastante facilidad.

— Robin Kothari

Gracias por todas las respuestas. En particular, gracias por recordarme sobre los polinomios de Jones y HOMFLY, que no tienen nada que ver con los HSP. Evaluar el polinomio de Jones exactamente en la quinta raíz de la unidad es # P-difícil, pero aproximarlos a una fracción de épsilon con cierta precisión probabilística está en BQP.

— Jason

Tengo que estar de acuerdo con Robin en que esto no es necesariamente un reclamo fácil de refutar, aunque es casi seguro que es falso. Una razón inmediata que me hace dudar es que el cálculo cuántico post seleccionado es igual a PP, y esto parece insinuar que las estadísticas serían difíciles de recrear. Scott Aaronson tiene un artículo en STOC que muestra que hay un problema de relación de oráculo que se puede resolver en BQP pero no en PH.

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
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P ^ {# P} = P ^ {PP}, por lo que podría usar eso en su lugar.

— Robin Kothari

Sí, eso habría sido lo más inteligente.

— Joe Fitzsimons