Maximizar una función submodular de dos conjuntos con diferentes restricciones de tamaño

Tengo dos dominios totalmente distintos (manzanas y naranjas) y tengo una función que toma un conjunto de objetos del primer dominio y un conjunto de objetos del segundo dominio y devuelve un número real. $f$

tiene las siguientes propiedades interesantes: $f(S,T)$

fijando , es no negativo, submodular y monótono wrt ; $T$ $S$
la fijación de , es no negativo, submodular y monótona wrt . $S$ $T$

Quiero maximizar con dos restricciones de cardinalidad y . $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

¿Cómo puedo hacer eso? Si considero el espacio del producto, la función es monótona y submodular. Por lo tanto, puedo aplicar el algoritmo codicioso estándar. Tratar con las dos restricciones de tamaño diferentes puede no ser un problema: agregar y en secuencia me permite aumentar sin aumentar . $(a, x)$ $(a, y)$ $|T|$ $|S|$

La pregunta es si la aproximación aún se mantiene. $1-1/e$

ds.algorithms optimization submodularity

— Francesco Bonchi
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f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

Gracias, buen punto. Entonces, olvidemos la segunda parte de mi pregunta. ¿Alguna idea sobre cómo maximizar tal función?

— Francesco Bonchi

$(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— Chandra Chekuri
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