Número de ciclos hamiltonianos en gráficos aleatorios

Suponemos que . Entonces el siguiente hecho es bien conocido:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Quiero saber los resultados sobre el número de ciclos hamiltonianos en gráficos aleatorios.

Q1. ¿Cuántos es el número esperado de ciclos hamiltonianos en ?$G(n,p)$

Q2 Cuál es la probabilidad para la probabilidad borde p en G ( n , p ) ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Como dijo Yuval, Q1 es fácil de responder utilizando la linealidad de la expectativa (spoiler: ). No sé la respuesta exacta a Q2, pero podría ser lo suficientemente bueno si sabes que es muy bajo: para el rango de p donde hay al menos un ciclo, sostiene que P [ hay más de un ciclo | existe al menos un ciclo de ] > 1 - 1 / n log n o así. En otras palabras, una vez que hay un ciclo, hay muchos. La razón es que una vez que hay un ciclo, hay alrededor de n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$formas de crear otro ciclo a partir de él mediante el intercambio de dos bordes del ciclo por los dos bordes "cruzados" (esto se llama "2 vueltas" o algo en la literatura relevante). Para cualquier par de aristas, la posibilidad de que pueda hacerlo es . Entonces, para que todo esto falle, la probabilidad es ( 1 - p 2 ) n 2, que es aproximadamente e - ( p n ) 2 , que es bastante pequeña.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$