En la entropía de una suma

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Estoy en busca de una cota en la entropía de la suma de dos variables aleatorias discretas independientes y . Naturalmente, Sin embargo, aplicado a la suma de variables aleatorias independientes de Bernoulli , esto da $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

En otras palabras, el límite crece linealmente con

cuando se aplica repetidamente. Sin embargo,

es compatible con un conjunto de tamaño

, por lo que su entropía es como máximo

. De hecho, por el teorema del límite central, supongo que

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

ya que es esencialmente compatible con un conjunto de tamaño

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

En resumen, el límite sobrepasa bastante en esta situación. Al leer esta publicación de blog , deduzco que son posibles todo tipo de límites en ; ¿Hay un límite que proporcione los asintóticos correctos (o, al menos, los asintóticos más razonables) cuando se aplican repetidamente a la suma de variables aleatorias de Bernoulli? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— Robinson
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2

No estoy seguro de lo que realmente estás preguntando. Si desea un límite superior en H (X + Y) en términos de H (X) y H (Y) que se aplica a cualquiera de las dos variables aleatorias discretas independientes X e Y, entonces H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) es claramente lo mejor que puede obtener; considere el caso donde las sumas x + y son todas distintas cuando x se extiende sobre el soporte de X e y se extiende sobre el soporte de Y. Si aplica este límite general a un caso muy especial, entonces es natural que obtenga un muy atado suelto

— Tsuyoshi Ito

1

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

1

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

2

Eso significa que lo que está buscando no es un límite superior en H (X + Y) en términos de H (X) y H (Y) . Por favor edite la pregunta.

— Tsuyoshi Ito

1

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

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$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Boaz Barak
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5

$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
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0

Tal vez podrías usar la ecuación:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Esto parecería un término que usted mencionó en los comentarios, desafortunadamente no conozco los resultados sobre la cardinalidad de los términos negativos o los límites perspicaces sobre ellos.

— Almiar
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