Contando colores de cuadrícula que evitan ciertas características

Un -coloring de una cuadrícula es una función . Un rectángulo roto en es una tupla satisface , es decir, exactamente tres esquinas del rectángulo son del mismo color.$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Estoy interesado en la siguiente pregunta:

En función de , ¿cuántos colores existen (para cuadrículas de cualquier tamaño) que evitan filas duplicadas, columnas duplicadas y rectángulos rotos?$k$$k$

Hasta ahora sé que la respuesta es finita, y el mejor límite superior que puedo probar es (ver más abajo).$k^{(1.5 k!)^2}$

También señalaré que esta es una pregunta diferente de la que Gasarch habló con frecuencia en su blog (y en este documento ). Él quiere evitar todos los rectángulos monocromáticos, mientras que no me importa los rectángulos monocromáticos, son solo los "rotos" los que quiero evitar.

¿Cuál es la motivación? En criptografía, consideramos el problema de Alice (que tiene ) y Bob (que tiene ) que aprenden para una función acordada , de tal manera que aprenden no más que . Puede asociar naturalmente con una tabla bidimensional, por lo tanto, un color de cuadrícula. Hay caracterizaciones para este tipo de problema de la siguiente forma (pero con notación diferente): " tiene alguna propiedad criptográficamente interesante si y solo si contiene un rectángulo roto". Para ver ejemplos, consulte Kilian91 y BeimelMalkinMicali99 .$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

Entonces, este problema ha surgido en algún entorno de criptografía que estaba investigando. Para mis propósitos, fue suficiente saber que hay un número finito de colores de cuadrícula que evitan rectángulos rotos y filas / columnas duplicadas. Pero pensé que el problema combinatorio en sí mismo es interesante y creo que deberían ser posibles mejores límites.

El mejor límite que puedo probar: Definir y ; por lo tanto. Primero, se puede demostrar que si es una coloración con al menos filas, entonces tiene una fila duplicada o un rectángulo roto. Simétricamente, uno puede mostrar lo mismo con respecto a las columnas. (La prueba es bastante básica, siguiendo el principio del casillero sobre el número de colores). De esto, sabemos que los colores que nos interesan tienen dimensiones más pequeñas que , y podemos obtener un límite superior muy suelto de tales colorantes.$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

Creo que esto se puede mejorar de dos maneras: Primero, creo que el valor óptimo de es . A continuación se muestra una familia de colores (definida recursivamente), donde es un color de tamaño que evita estas características prohibidas:$R(k)$C k k 2 k - 1 × 2 k - $2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

Creo que estos son los colores más grandes que evitan estas estructuras prohibidas.$k$

Segundo , incluso si uno pudiera mejorar el límite en descrito anteriormente, todavía tenemos el hecho de que es un límite muy grueso para el número total de coloraciones. Esto cuenta todos los posibles colores de cuadrícula , de los cuales una gran parte presumiblemente tiene las características prohibidas.k R ( k ) 2 R ( k ) × R ( k $R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

Si desea límites para una fija (en lugar de una expresión / fórmula asintótica que funcione para todas las ), un enfoque podría ser utilizar un muestreo aleatorio: elija repetidamente una coloración aleatoria, verifique si cumple con sus criterios y cuente cuántos Las pruebas fueron exitosas. Esto le da una estimación de la fracción de coloraciones que cumplen con sus criterios. Esto se puede convertir en una estimación aproximada del número total de colores que cumplen con sus criterios (simplemente multiplique por ).k k m $k$$k$$k^{mn}$

Luego, puede usar un límite de Chernoff para obtener límites superiores e inferiores en la cantidad de coloraciones que cumplen con sus criterios, donde estos límites se mantienen con probabilidad (asumido en los ensayos aleatorios). En otras palabras, tendría que ser extremadamente desafortunado en su elección de ensayos aleatorios para que esos límites sean incorrectos.$\ge 1-2^{-100}$