La entropía de una distribución ruidosa.

Digamos que tenemos una función tal que ∀ x ∈ Z n $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ yfes una distribución, es decir,Σx∈Z n 2 f(x)=1.

$$\forall x\in \mathbb{Z}_2^n \quad f(x) \in \left\{\frac{1}{2^n}, \frac{2}{2^n}, \ldots, \frac{2^n}{2^n} \right\},$$ $f$$\sum_{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x) = 1$

La entropía de Shannon de se define como sigue: H ( f ) = - ∑ x ∈ Z n 2 f ( x ) log ( f ( x ) )$f$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x) \log \left( f(x) \right) .$$

Deje ser algo constante. Digamos que obtenemos una versión ϵ- ruidosa de f ( x ) , es decir, obtenemos una función ˜ f : Z n 2 → R tal que | ~ F ( x ) - f ( x ) | < ϵ por cada x ∈ Z n 2 . ¿Cuál es el efecto del ruido en la entropía? Esto es, podemos obligados H ( ~ f ) por una función de "razonable" de $\epsilon$$\epsilon$$f(x)$$\tilde{f}:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$|\tilde{f}(x)- f(x) | < \epsilon$$x\in \mathbb{Z}_2^n$$H(\tilde{f})$$\epsilon$y , como: ( 1 - ϵ ) H ( f ) < H ( ˜ f ) < ( 1 + ϵ ) H ( f ) , o incluso, ( 1 - ϵ c n ) d H ( f ) < H ( ˜ f ) < ( 1 + ϵ c n $H(f)$

$$(1-\epsilon)H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon)H(f),$$ para algunas constantes c , d . $$(1-\epsilon^c n)^d H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon^c n)^d H(f),$$ $c,d$

Editar: Tratando de conseguir una sensación para el efecto del ruido sobre la entropía de Shannon, cualquier aditivo "razonable" Límite en también sería muy interesante.$H(\tilde{f})$

$f$$S$$2^{\delta \cdot n}$$\tilde{f}$$\delta$$S$

$f$$\tilde{f}$$(1-\delta) \cdot 2^{-\delta \cdot n}$$H(f)= \delta \cdot n$$H(\tilde{f}) \approx (1 - \delta + \delta^2) \cdot n$$(1 - \delta)^2 \cdot n$$\delta$

$\delta = \frac{\log(1/\varepsilon)}{n}$$\varepsilon$$\approx n - 2\log(1/\varepsilon)$