Paisaje de sistemas de prueba interactivos

Mi primera pregunta es si la caracterización de un sistema de prueba interactivo es conocida para todas las clases de complejidad clásicas. Llamaría P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, funciones recursivas y recursivamente enumerables clásicas (entre otras). Específicamente, ¿se conoce una caracterización de sistema de prueba interactiva para funciones recursivas y recursivamente enumerables?

Solo sé que IP = PSPACE y que MIP = NEXPTIME. Por 'saber' significa que entiendo las definiciones de objetos en ambos lados de la igualdad y posiblemente entiendo la igualdad.

Mi segunda pregunta es si hay un resumen gráfico de los diferentes tipos de sistemas de prueba interactivos y las clases de complejidad que caracterizan.

Específicamente, me gustaría una referencia a una figura similar a la imagen de Immerman de caracterizaciones de complejidad de descripción .

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— Vijay D
fuente

¿Qué sabes ya?

— Tsuyoshi Ito

Hay más de 1 parámetro variable en un sistema de prueba interactivo: cuál es el poder del verificador, cuál es el poder del probador, qué tipo (y cantidad) de comunicación están permitidos, si tienen aleatoriedad precompartida, el verificador tiene que leer el mensaje completo del probador o tiene acceso aleatorio al mensaje, etc.

— Robin Kothari

Después de pensar un poco más, no creo que pueda responder adecuadamente a su pregunta porque el sistema de prueba interactivo es un tema amplio en la teoría de la complejidad computacional. Puede consultar el Capítulo 9 de Complejidad computacional: una perspectiva conceptual de Goldreich o los Capítulos 8 y 11 de Complejidad computacional: un enfoque moderno de Arora y Barak.

— Tsuyoshi Ito

@VijayD: Sí, eso es parte del problema. En las caracterizaciones de complejidad descriptiva, hay una variable (la lógica), por lo que a medida que sube de FO a SO, pasa de AC0 a PH, etc. En los sistemas de prueba interactivos, hay tantas variables que no está claro que sea agradable Se puede dibujar el paisaje.

— Robin Kothari

No estoy seguro de que esta pregunta esté bien especificada. Hay una respuesta trivial: cada clase puede ser "caracterizada" como una "prueba interactiva" donde el probador básicamente no hace mucho y el verificador es lo suficientemente poderoso. Lo interesante de los resultados IP = PSPACE y MIP = NEXP (y PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) es que el verificador es sorprendentemente débil.

— Sasho Nikolov

Respuestas:

Puede encontrar muchas caracterizaciones (particularmente en verificadores acotados por el espacio) en la famosa encuesta de Condon: La complejidad de los sistemas de prueba interactivos acotados por el espacio .

Aquí hay una lista de algunos de ellos:

, donde 2pfa (el verificador) es un autómata finito probabilístico de dos vías. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
, donde pfa (el verificador) es un autómata finito probabilístico unidireccional que interactúa con dos probadores. $\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
. $\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
, , etc. $\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

Algunos resultados recientes (en su mayoría cuánticos):

porYakaryilmaz, donde 2qcfa (el verificador) es un autómata finito bidireccional que tiene un registro cuántica constante de tamaño. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
porYakaryilmaz, donde 2pca (el verificador anterior) es un autómata finito probabilístico de dos vías con un contador y 2qca (el último verificador) es un dos autómata cuántico finito con un contador. $\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
Ito, Kobayashi y Watrous dieron una nueva caracterización de basada en sistemas de prueba interactivos cuánticos con una brecha doble exponencialmente pequeña en la probabilidad de aceptación entre los casos de integridad y solidez. $\mathsf{EXP}$
porJain, Ji, Upadhyay y Watrous, donde QIP es la generalización cuántica de los sistemas IP. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{NP}$
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
fuente

¡Gracias! Esto es exactamente lo que quería. No sabía cómo mejorar mi pregunta, que era demasiado vaga para los expertos, y me alegra que haya entendido mi intención.

— Vijay D

Bueno, entonces, ¿por qué no lo marcas como la mejor respuesta?

— Cem Say

¿Porque quién sabe lo que traerá mañana? Me gustaría una semana o 10 días después de publicar para decidir.

— Vijay D

NP se caracteriza a menudo como un sistema de prueba en el que el probador envía una prueba de longitud polinómica a un verificador determinístico de tiempo polinomial, y después del cual no hay interacción. La clase de lenguajes recursivamente enumerables se puede caracterizar de manera similar reemplazando "polinomio" por "finito".

Además, dado que la clase de lenguajes recursivos R es la intersección de RE y coRE, puede caracterizar a R como un sistema de prueba en el que un probador todopoderoso puede convencer a un verificador de tiempo finito tanto en la validez de las afirmaciones correctas como en la invalidez de afirmaciones falsas.

La clase EXP tiene una caracterización en términos de un sistema de prueba con "demostradores competidores", es decir, un sistema de prueba en el que hay un demostrador que intenta convencer al verificador de que la afirmación es verdadera y un refutador que intenta convencer al verificador de que El reclamo es falso. Para más detalles, ver el artículo "Haciendo cortos los juegos" de Feige y Kilian.

— O meir
fuente