Cómo generar gráficos con una cobertura de vértice óptima conocida

Estoy buscando una forma de generar gráficos para que se conozca la cobertura óptima del vértice. No hay restricciones en el número de nodos o bordes, solo que el gráfico está completamente conectado.

la idea es generar un gráfico que no sea fácil de encontrar la cubierta óptima del vértice, para poder probar diferentes heurísticas en él

Encontré el artículo Arthur, J. & Frendeway, J. Generando problemas de vendedor ambulante con conocidos viajes óptimos, The Journal of the Operational Research Society, vol. 39, N ° 2 (febrero de 1988), págs. 153-159 para generar TSP con óptimo conocido, por desgracia no puedo acceder a él.

¿Hay un algoritmo conocido?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— AndresQ
fuente

"No hay restricciones en la cantidad de nodos o aristas, solo que el gráfico está completamente conectado". Necesitas más restricciones que esto. De lo contrario, genero el conjunto de gráficos completos y conozco las cubiertas de vértices óptimas para cada uno.

— Tyson Williams el

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

Supongo que "generar un gráfico bipartito aleatorio y calcular su cubierta de vértice" no cuenta como una respuesta útil ...

— David Eppstein

existen muchas estrategias para crear instancias SAT "duras" y también repositorios de instancias "duras" archivadas si está dispuesto a seguir ese camino, es decir, convertir una instancia de SAT en cobertura de vértice. También theres mucha investigación el estudio de SAT de un Punto de vista empírico que se traduce naturalmente en todos los demás problemas completos NP por ejemplo, punto, etc. muchas referencias sobre todo de esta transición ...

— VZN

Incluso de manera más general que la capacidad de resolución de tiempo polinomial de la cubierta de Vértice en los gráficos de Koning como lo señaló David, el siguiente resultado se conoce por el área de complejidad parametrizada: hay una constante c tal que para cada entero fijo k, hay un O (n ^ c) algoritmo de tiempo para probar si un gráfico tiene una cubierta de vértice que excede su tamaño máximo de coincidencia en a lo más k. Los gráficos de Konig son el caso especial cuando k = 0.

— Bart Jansen el

Respuestas:

Expandir el comentario de vzn en una respuesta: la reducción estándar de CNF-SAT a la cubierta de vértices es bastante fácil: haga un vértice para cada término (variable o su negación), conecte cada variable a su negación por un borde, haga una camarilla para cada cláusula , y conecta cada vértice de la camarilla al vértice de uno de los términos de la cláusula. Si comienza con un problema de satisfacción con una asignación satisfactoria conocida, esto le dará un problema de cobertura de vértice con una solución óptima conocida (elija el término vértices dados por la asignación, y en cada grupo de cláusulas elija todos menos un vértice, de modo que el vértice de la cláusula que no se elige es adyacente al término vértice que se elige).

Así que ahora necesita encontrar problemas de satisfacción que tengan una tarea satisfactoria conocida pero que la solución sea difícil de encontrar. Existen muchas formas conocidas de generar problemas difíciles de satisfacción (por ejemplo, generar instancias aleatorias de k-SAT cercanas al umbral de satisfacción), pero el requisito adicional de que conozca la asignación satisfactoria restringe las posibilidades. Una cosa que puede hacer aquí es pasar por otro nivel de reducción, desde un problema criptográfico difícil como la factorización. Es decir, elegir dos primos grandes p y q, configurar un circuito booleano para multiplicar p y q como números binarios, y traducirlo a una fórmula CNF en la que haya una variable para cada entrada (p y q) y para cada valor intermedio en un cable en el circuito, una cláusula para cada salida que lo obliga a tener el valor correcto, y una cláusula para cada puerta que obliga a las entradas y salidas de la puerta a ser coherentes entre sí. Luego traduzca esta fórmula CNF en la cubierta del vértice.

Para una estrategia más simple, elija primero la asignación satisfactoria a una fórmula 3CNF, y luego genere cláusulas al azar, manteniendo solo las cláusulas que sean consistentes con la asignación, y luego conviértalas en una cubierta de vértice. Si las cláusulas tienen una probabilidad uniforme, esto será vulnerable a una heurística basada en grados (el término vértices que coinciden con la asignación elegida tendrá un grado menor que el término vértices que no lo hacen), pero esta deficiencia puede evitarse ajustando las probabilidades de las cláusulas de acuerdo con cuántos términos de la cláusula concuerdan con la asignación elegida. Probablemente esto sea vulnerable a algún tipo de ataque de tiempo polinómico, pero podría no ser uno que sea natural para la cobertura de vértices, por lo que podría ser un buen conjunto de instancias de prueba a pesar de no tener mucha garantía de dureza.

— David Eppstein
fuente

\cap

$\cap$

la referencia más cercana que encontré fue ... En casos difíciles de cobertura de vértice aproximada por Sundar Vishwanathan. no vi referencias para mirar instancias difíciles del problema exacto.

Como en mi comentario, hay una gran cantidad de investigación sobre este enfoque correspondiente para SAT que es reducible a la cubierta del vértice.

Según el comentario de DE, la idea de generar instancias aleatorias y simplemente elegir aquellas instancias que son difíciles para un algoritmo estándar me parece totalmente razonable, especialmente con un enfoque de investigación empírica / experimental [1], es un procedimiento operativo estándar para una investigación similar en el SAT punto de transición. [2]

que por cierto tiene algo que decir donde está la región "dura" para cualquier otro problema completo de NP [3,4,5] que se relaciona aproximadamente con un punto crítico en la "densidad" de 1s en instancias aleatorias especificadas en binario. para la cubierta del vértice esto probablemente correspondería a la densidad del borde.

tenga en cuenta que demostrar que uno puede construir un conjunto de instancias difíciles, y solo instancias difíciles, es básicamente equivalente al problema P vs NP. un análisis más formal de esta equivalencia se encuentra en el documento Razborov / Rudich Natural Proofs.

[1] algoritmos experimentales

[2] Investigación de transición de fase SAT

[3] Transiciones de fase en problemas difíciles de NP

[4] Transiciones de fase en problemas NP-completos: un desafío para la probabilidad, la combinatoria y la informática por Moore

[5] Comportamiento de transición de fase de Walsh

— vzn
fuente