Subgrafiar isomorfismo con un árbol

Si tenemos un gran gráfico (dirigido) y un árbol enraizado más pequeño , ¿cuál es la complejidad más conocida para encontrar subgrafías de isomorfas a ? Soy consciente de los resultados para el isomorfismo de subárbol donde y son árboles y también donde es plano o tiene un ancho de árbol limitado (y otros), pero no para este gráfico y caso de árbol. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Rafael
fuente

¿Te refieres al subgrafo inducido, en lugar de subgrafo?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ Kristoffer, estoy interesado en ambos. ¿Me he perdido algo trivial sobre el caso no inducido?

— Raphael

Su problema es NP-hard incluso si

es una ruta, ya que el problema de ruta más largo (inducido o no inducido) es NP-hard.

H

$H$

— Yota Otachi

Si. Estoy interesado en lo que más se sabe que es particular para

siendo un árbol. Por ejemplo, dependiendo de las propiedades de

tales como los de la pregunta o asumiendo

se fija etc.

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raphael

El problema del camino inducido es W [1] -completo (Papadimitriou-Yannakakis 1991) mientras que el problema del camino (no inducido) es FPT (Monien 1985). Ver también Chen-Flum 2007. También quiero saber la complejidad parametrizada para otras clases de árboles.

— Yota Otachi

Respuestas:

La pregunta de si un gráfico fijo es una subgrafía (inducida) de es una propiedad definible de primer orden, es decir, para cada hay una fórmula ( ) tal que es una subgrafía (inducida) de si y solo si ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

Anteriormente se sabía que el problema de la verificación del modelo es manejable con parámetros fijos en clases de gráficos que (localmente) excluyen un menor y en clases de expansión limitada (localmente) . Recientemente, Grohe, Kreutzer y S. anunciaron un meta-teorema aún más general, afirmando que cada propiedad de primer orden se puede decidir en un tiempo casi lineal en clases de gráficas densas en ninguna parte.

Para su pregunta, esto implica lo siguiente. Deje que sea un árbol arraigado fijo. Entonces se puede decidir en tiempo lineal si es un subgrafo (inducido) de un gráfico de entrada (dirigido o no dirigido) si es plano, o más generalmente es de una clase que excluye un menor o de una clase de expansión acotada. El problema puede decidirse en un tiempo casi lineal si es de una clase que excluye localmente a un menor o de una clase de expansión localmente limitada o, en general, es de una clase de gráficos densa en ninguna parte. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Sebastian Siebertz
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Se puede resolver en un tiempo esperado aleatorio donde es el tamaño del árbol dirigido pequeño que se va a encontrar es el número de bordes del gráfico dirigido grande en el que se encuentra. Véase el Teorema 6.1 de Alon, N., Yuster, R. y Zwick, U. (1995). Codificación de color. J. ACM 42 (4): 844–856 . Alon y col. también declare que su algoritmo puede ser aleatorizado, pero no brinde los detalles para esa parte; Creo que el tiempo determinista puede ser un poco mayor, algo más parecido a $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— David Eppstein
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La versión desrandomizada debe ser la habitual, por ejemplo, como se describe en la sección 4, simplemente usando la función hash perfecta para mapear

n

$n$ nodos a

k

$k$ color, lo que hace que extra

\log^{2} n

$\log^2 n$ factor. (también se puede mejorar a

\log n

$\log n$ factor, significa totalmente es

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$ )

— Saeed

Probablemente esté buscando a Marx, Pilipczuk trabaja en la complejidad parametrizada del subgrafo isomorfismo . Técnicamente, cubre solo gráficos no dirigidos, pero creo que puede adaptar los resultados de dureza para los árboles $H$ easily to rooted trees. The positive results relevant for your problem are already covered by the previous answers.

— Radu Curticapean
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