¿Existen pruebas de existencia de algoritmos no constructivos?

Recuerdo que podría haber encontrado referencias a problemas que han demostrado ser solucionables con una complejidad particular, pero sin un algoritmo conocido para alcanzar esta complejidad.

Me cuesta entender cómo puede ser este el caso; cómo se vería una prueba no constructiva de la existencia de un algoritmo.

¿Existen realmente tales problemas? ¿Tienen mucho valor práctico?

Considere la función (tomada de aquí )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

A pesar de la apariencia, es computable por el siguiente argumento. Ya sea$f$

1. ocurre por cada n o$0^n$$n$
2. hay una de modo que 0 k se produce pero 0 k + 1 no lo hace.$k$$0^k$$0^{k+1}$

No sabemos cuál es (todavía), pero sabemos que con$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. y$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Como , f es computable, pero no podemos decir qué es f .$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Puede que esto no sea exactamente lo que quiere decir, pero el algoritmo óptimo de árbol de expansión mínimo de Seth Pettie y Vijaya Ramachandran es, en cierto sentido, no constructivo.

Es una pregunta abierta si existe un algoritmo determinista para calcular árboles de expansión mínima en tiempo lineal (es decir, ). Pettie y Ramachandran describen un algoritmo que calcula los MST en tiempo lineal si existe dicho algoritmo .$O(n+m)$

Intuitivamente, su algoritmo reduce cualquier instancia -vertex del problema MST a O ( n / k ) instancias más pequeñas con vértices O ( k ) en tiempo lineal, donde (por ejemplo) k = O ( log log log log log log log log n ) . Luego calculan el árbol de comparación óptimo que calcula el árbol de expansión mínimo de cualquier gráfico k- vértice por enumeración de fuerza bruta; incluso si esto toma un tiempo quintuplicamente exponencial en k , eso es solo $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$tiempo. Finalmente, resuelven las instancias pequeñas utilizando este árbol de decisión óptimo.$O(\log\log n)$

En otras palabras, Pettie y Ramachandran construyen un algoritmo MST óptimo solo indirectamente, al construir un algoritmo que construye un algoritmo MST óptimo.

Aquí hay dos ejemplos.

1. Algunos algoritmos que usan el teorema de Robertson-Seymour . El teorema establece que existe una obstrucción finita para cada caso, pero no proporciona una manera de encontrar un conjunto tan finito. Por lo tanto, aunque podemos probar que el algoritmo existe, la declaración explícita del algoritmo dependerá del conjunto de obstrucción finita que no sabemos cómo encontrar. En otras palabras, sabemos que hay un algoritmo, pero no sabemos (todavía) cómo encontrar uno.

2. Un ejemplo más fuerte, aunque menos natural, es esencialmente usar PEM o axiomas no constructivos similares. Esto es más fuerte en el sentido de que podemos demostrar que la existencia constructiva de un algoritmo implicaría un axioma no constructivo (similar a los contraejemplos débiles de Brouwer ). Tal ejemplo es más fuerte porque no solo dice que no conocemos en este momento ningún algoritmo explícito (o cualquier forma algorítmica de encontrar uno), sino también que no hay esperanza de hacerlo.

   Como ejemplo, podemos usar PEM para probar que existe un algoritmo, mientras que no sabemos cuál y una forma constructiva de encontrar uno implicaría un axioma no constructivo. Déjame darte un ejemplo simple:

   El problema de detención es trivialmente decidible para cada máquina de Turing fija (cada TM se detiene o no se detiene, y en cada caso hay una TM que genera la respuesta correcta), pero ¿cómo podemos encontrar un algoritmo que resuelva el problema correctamente sin resolver ( la versión uniforme de) el problema de detención?

   Más formalmente, no podemos probar de manera constructiva que le da un TM , hay una TM H T que decide el problema de la parada de M . Más formalmente, la siguiente declaración no puede ser probada constructivamente:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Aquí es la TM con código e (en alguna representación fija de TM), { e } ↓ significa { e } se detiene, y { f } ↑ significa que { f } no se detiene.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Si.

En un punto en (1), el teorema de dicotomía de homomorfismo de gráfico de conteo ponderado complejo para cualquier tamaño de dominio finito, Cai, Chen y Lu solo prueban la existencia de una reducción de tiempo polinomial entre dos problemas de conteo a través de la interpolación polinómica. No sé de ningún valor práctico para tal algoritmo.

Consulte la Sección 4 de la versión arXiv. El lema en cuestión es el Lema 4.1, llamado "Primer lema de fijación".

Una forma de hacer que esta prueba sea constructiva es probar la versión compleja ponderada de un resultado de Lovasz , a saber:

Para todo , Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , w , j ) si existe un automorfismo f de G tal que f ( i ) = j .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Aquí, es un vértice en H , i y j son vértices en G , y Z H ( G , w , i ) es la suma sobre todas las homomorfismo de grafos complejos-ponderado de G a H con la restricción adicional de que i tiene que mapearse a w .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen y Pinyan Lu, Homomorfismos gráficos con valores complejos: un teorema de dicotomía ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Algunos resultados iniciales de finales de los 80:

• Fellows y Langston, " Herramientas no constructivas para probar la capacidad de decisión en tiempo polinomial ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Auto-reducibilidad en tiempo polinómico: motivaciones teóricas y resultados prácticos ", 1989

Del resumen del segundo ítem:

Sin embargo, los recientes avances fundamentales en la teoría de grafos han puesto a disposición nuevas y poderosas herramientas no constructivas que pueden aplicarse para garantizar la membresía en P. Estas herramientas no son constructivas en dos niveles distintos: ni producen el algoritmo de decisión, estableciendo solo la finitud de un conjunto de obstrucción , ni revelan si tal algoritmo de decisión puede ser de alguna ayuda en la construcción de una solución. Revisamos e ilustramos brevemente el uso de estas herramientas, y discutimos la tarea aparentemente formidable de encontrar los algoritmos de decisión prometidos en tiempo polinómico cuando se aplican estas nuevas herramientas.

Un ejemplo de una familia infinita de problemas (de valor práctico cuestionable) para los cuales podemos mostrar:

1. Que para cada problema existe un algoritmo para resolverlo.
2. Que no hay forma de construir estos algoritmos (en general).

En otras palabras, una prueba demostrablemente no constructiva. Nuestra familia de problemas (de esta pregunta ) para cada máquina de Turing :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. Para cada este es un conjunto finito y, por lo tanto, decidible.$M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$ . Una imposibilidad por el teorema de Rice; así, tal prueba constructiva P no existe.$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

De "La teoría de la bidimensionalidad y el gráfico algorítmico Notas de la teoría menor" para el Tutorial de Mohammad Taghi Hajiaghayi, por Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura y Siamak Tazari.

Cada propiedad de gráfico cerrado menor puede caracterizarse por un conjunto finito de menores prohibidos.

Desafortunadamente, su resultado es "inherentemente" no constructivo, es decir, no existe un algoritmo que generalmente pueda determinar qué menores deben ser excluidos para una determinada propiedad de gráfico cerrado menor. Además, el número de menores prohibidos puede ser alto: por ejemplo, para gráficos incrustados en el toro se conocen más de 30,000 menores prohibidos, pero la lista está incompleta.

[...]

Cada propiedad de gráfico cerrado menor puede decidirse en tiempo polinómico (incluso en tiempo cúbico).

Lema local algorítmico de Lovász : "el lema algorítmico local de Lovász proporciona una forma algorítmica de construir objetos que obedecen a un sistema de restricciones con dependencia limitada ... Sin embargo, el lema no es constructivo ya que no proporciona ninguna idea de cómo para evitar los malos acontecimientos ". En algunos supuestos / limitaciones en la distribución, Moser / Tardos da un algoritmo construido [1]. el lema local de Lovasz parece tener varias conexiones profundas con la teoría de la complejidad, por ejemplo, ver [2]

[1] Una prueba constructiva del lema local general de Lovász por Moser, Tardos

[2] El lema local y la satisfacción de Lov´asz Gebauer, Moser, Scheder, Welzl