Usos de cuasi-PER / relaciones difuncionales / relaciones en zig-zag?

Dados los conjuntos y , una relación difuncional entre ellos se define como una relación que satisface la siguiente propiedad:$A$$B$ $(\sim) \subseteq A \times B$

Si y y , entonces . $a \sim b$$a' \sim b'$$a \sim b'$$a' \sim b$

Las relaciones difuncionales son una generalización del concepto de relaciones de equivalencia parcial que permiten definir una noción de igualdad a partir de diferentes conjuntos. Como resultado, también se conocen como cuasi-PER (QPER), y también se conocen como relaciones en zig-zag, debido a la siguiente imagen:

Estoy escribiendo un documento que los usa, pero he tenido problemas para localizar buenas referencias para su uso en semántica.

1. Martin Hoffman los usa en la corrección de las transformaciones de programas basadas en efectos .
2. He visto menciones (pero no buenas referencias) que afirman que Tennant y Takeyama también han propuesto su uso.

Son una idea tan bonita que tengo problemas para creer que mi uso particular de ellos es original. Realmente agradecería cualquier referencia adicional.

Makoto Takeyama y yo enviamos lo siguiente a data-refinement@etl.go.jp el 5 de enero de 1996:

Asunto: ¿qué es una relación de refinamiento de datos?

Queridos: ¿alguien todavía está interesado en el refinamiento de datos?

Recientemente, Mak y yo hemos estado analizando nuevamente una idea que consideramos hace muchos meses. La motivación es caracterizar las relaciones lógicas relevantes para mostrar el refinamiento de datos. Esto se estimuló al darse cuenta de que las relaciones lógicas se pueden usar para mostrar la "seguridad" de las interpretaciones abstractas (vea la Sección 2.8 del capítulo de Jones y Nielson en el volumen 4 del Manual de lógica en CS), pero tales relaciones son más generales que aquellos utilizados para mostrar el refinamiento de datos.

Mi razonamiento es el siguiente. Si una relación R está estableciendo un refinamiento de datos entre (entre) conjuntos, entonces debe inducir relaciones de equivalencia (parciales) en cada uno de los conjuntos, con estas clases de equivalencia en correspondencia uno a uno, y cada elemento de una clase de equivalencia debe estar relacionado con todos los elementos de las clases de equivalencia correspondientes en los otros dominios de interpretación. La idea es que cada clase de equivalencia representa un valor "abstracto"; En una interpretación completamente abstracta, las clases de equivalencia son singletons.

Podemos dar una condición simple para asegurar que una relación n-aria R induzca esta estructura. Defina v ~ v 'en el dominio V si existe un valor x en algún otro dominio X (y valores arbitrarios ... en los otros dominios) tal que R (..., v, ..., x, ... ) y R (..., v ', ..., x, ...). Esto define relaciones simétricas en cada uno de los dominios. Imponer la transitividad local nos daría pers en cada dominio, pero esto no sería suficiente porque queremos asegurar la transitividad a través de las interpretaciones. La siguiente condición logra esto: si v_i ~ v'_i para todo i, entonces R (..., v_i, ...) iff R (..., v'_i, ...) Yo llamo a esto "zig- integridad de zag "; en el caso n = 2, dice que si R (a, c) y R (a ', c') entonces R (a, c ') iff R (a', c).

Proposición. Si R y S son relaciones completas en zig-zag, también lo son R x S y R -> S.

Proposición. Supongamos que t y t 'son términos de tipo th en contexto pi, y R es una relación lógica completa en zig-zag; entonces, si el juicio de equivalencia t = t 'se interpreta como sigue:

para todo u_i en V_i [[pi]],
R ^ {pi} (..., u_i, ...) implica que, para todo i, V_i [[t]] u_i ~ V_i [[t ']] u_i

Esta interpretación satisface los axiomas y las reglas habituales para la lógica equitativa.

La intuición aquí es que los términos deben ser "equivalentes" tanto dentro de una única interpretación (V_i) como entre interpretaciones; es decir, los significados de t y t 'están en la misma clase de equivalencia inducida por R, sin importar qué interpretación se use.

Preguntas:

1. ¿Alguien ha visto este tipo de estructura antes?

2. ¿Cuáles son las generalizaciones naturales de estas ideas a otras proposiciones y categorías semánticas "arbitrarias"?

Bob Tennent rdt@cs.queensu.ca

No sé sobre el campo de la semántica, pero el concepto que mencionas es crucial en la complejidad de contar.

$R$$R$$m$$m(x,y,y) = m(y,y,x) = x$$x$$y$

$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$