Comprender una prueba de diseño de mecanismo

He estado luchando con los detalles técnicos de una prueba sobre la teoría de subastas en este documento: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Específicamente, Teorema 2.5: Las condiciones necesarias y suficientes para un mecanismo veraz.

Incluso más específicamente, la dirección hacia adelante de la prueba, dada en la página 6. Al definir un valor verdadero como , y un valor general, posiblemente falso (por ejemplo, una oferta) como , el autor postula dos cantidades adicionales, y .b i z 1 z $v_i$$b_i$$z_1$$z_2$

Luego estipula que , , lo que produce una desigualdad basada en el trabajo previo del artículo. b i = z $v_i = z_1$$b_i = z_2$

También estipula que , , lo que produce una desigualdad similar pero diferente basada en el trabajo previo del artículo. b i = z $v_i = z_2$$b_i = z_1$

De acuerdo, bastante justo. Luego resta una desigualdad de la otra y procede a obtener el resultado deseado sobre la base del álgebra consecuente. No entiendo por qué esa sustracción está justificada: parece estar restando dos desigualdades que se basan en suposiciones completamente diferentes (de hecho, opuestas), y cada vez que lo veo me arrojan violentamente del tren del pensamiento.

Estoy bastante seguro de que he visto este enfoque básico (¿el libro de Shoham y Leyton-Brown? No lo tengo a mano para verificar), por lo que parece ser una idea común, pero no puedo superarlo. ¿Alguien puede ayudarme a comprender por qué eso es válido o explicarme lo que me falta?

(He intentado demostrar el resultado deseado asumiendo tres values-- un valor verdadero , y dos ofertas, y - para conseguir su resultado deseado, pero también fracasó Por lo tanto, no sólo puede ser común, pero. Necesarias para hazlo a la manera del autor. Pero todavía no lo entiendo).b 1 b $v_i$$b_1$$b_2$

Actualización: Sabía que había visto algo similar en el libro de Shoham y Leyton-Brown . No es exactamente lo mismo, pero es muy similar y trata con la misma ecuación y el mismo tema. Es el caso 1 del teorema 10.4.3.

Partiendo del contexto de mecanismos veraces, primero asumen una veraz y una falsa y deducen que el pago basado en es menor o igual que el pago basado en v ′ i , por ejemplo, P i ( v i ) ≤ P i ( v ′ i ) . Luego suponen lo contrario, una v ′ i verdadera y una v i falsa , y obtienen el resultado opuesto, que el pago basado en v ′ i es menor que el pago basado env ′ i v $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$ , por ejemplo, P i ( v ′ i ) ≤ P i ( v i ) . Vale, eso tiene sentido. $v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Luego sostienen que los pagos basados ​​en y v ′ i deben ser iguales, como si estuvieran diciendo que P i ( v i ) ≤ P i ( v ′ i ) y P i ( v ′ i ) ≤ P i ( v i ) son simultáneamente verdaderas, a pesar de que son el resultado no solo de supuestos diferentes, sino opuestos.$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

La respuesta es que el mecanismo debe ser veraz para cada conjunto de tipos posibles: el mecanismo no sabe cuáles son los tipos verdaderos de antemano. Entonces, para un par de tipos y v ′ i , el mecanismo debe ser veraz si el tipo verdadero de un agente es v i : es decir, su utilidad debe ser mayor si ofrece v i que si ofrece v ′ i . ¡Pero el mecanismo también debe ser veraz si el tipo verdadero del agente es v ′ i ! Después de todo, en lo que respecta al mecanismo, ¡podría serlo! Entonces, en este caso, la utilidad de un agente debe ser mayor si ofrece v $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i$$v_i'$$v_i'$ en comparación convi.$v_i'$$v_i$

El punto es que la veracidad impone muchas desigualdades diferentes en el mismo mecanismo simultáneamente: uno para cada tipo que un agente pueda tener, y para cada desviación que pueda considerar. Todos ellos aguantan. Esta prueba usa solo dos de estas desigualdades

Creo que lo que quieres es la siguiente propuesta.

Proposición. Deje y A ser conjuntos. Deje f : V n → A y p 1 , ... , p n : V n → R . Suponga que para todo i , x i , y i , v - i tenemos x i ( f ( x i , v - i ) ) - p i ( $V$$A$$f:V^n\to A$$p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$$i,x_i,y_i,v_{−i}$ Entonces para todo i , v i , v ′ i , v - i tenemos v i ( f ( v i , v - i )

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

Prueba. Poniendo e y i = v ′ i tenemos v i ( f ( v i , v - i ) ) - p i ( v i , v - i ) ≥ v i ( f ( v ′ i , v - i ) ) - p i ( $x_i=v_i$$y_i=v'_i$ Poniendoxi=vieyi=v ′ i tenemos v ′ i (f(v ′ i ,v-i))-pi(v ′ i ,v-i)≥v ′ i (f(vi,

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ $x_i=v_i$$y_i=v'_i$ El resultado sigue agregando estas desigualdades y reorganizando. $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$

La interpretación del diseño del mecanismo de esta propuesta es que cada mecanismo compatible con incentivos (es decir, a prueba de estrategia, es decir, veraz) tiene una "monotonicidad débil".

Por alguna razón, es convencional discutir al referirse a verdaderas ofertas y mentiras. En este contexto, "verdadero" y "mentira" son solo nombres de variables, como "x" e "y". Está bien usar el mismo nombre para referirse a diferentes cosas en argumentos separados, porque no hay una diferencia formal entre una oferta verdadera y una mentira.