Deje que e sean conjuntos, y sea una partición de . Me gustaría demostrar que existe una distribución sobre cuyo marginal es uniforme sobre , y tal que la distribución sobre inducida por tiene una gran entropía (el esta última distribución se define asignando a cada la masa de probabilidad total de los elementos de debajo de ). Podemos usar la siguiente condición:
Considere el gráfico bipartito cuyos lados son y , de modo que para cada haya un borde en (múltiples bordes posibles). Luego, cada conjunto de 's de tamaño al menostiene al menosvecinos en G.
Le agradecería si alguien pudiera referirme a un teorema relevante. Esta pregunta puede verse en cierto sentido como una generalización del teorema de Hall, donde la condición anterior es una condición de relajación de Hall, y donde en lugar de obtener una coincidencia perfecta, obtenemos un conjunto de bordes cuya subgrafía correspondiente es más o menos regular.
Antecedentes : la motivación para estas preguntas proviene de la complejidad de la comunicación. En el contexto de la complejidad de la comunicación, dos jugadores, Alice y Bob, obtienen entradas e respectivamente, e interactúan para calcular alguna función . Aquí, cada conjunto consiste en pares que producen la misma transcripción de comunicación entre Alice y Bob, y me gustaría demostrar que, bajo alguna condición, uno puede encontrar una distribución sobre tal que Alice obtenga una entrada distribuida uniformemente, y tal que la entropía de la transcripción bajo la distribución sea grande.