¿Son posibles las formas recursivas de la declaración de Godel?

La autorreferencialidad del problema P / NP a veces se ha resaltado como una barrera para su resolución, ver, por ejemplo, el artículo de Scott Aaronson, ¿ es P vs. NP formalmente independiente ? Una de las muchas resoluciones concebibles para P / NP sería una demostración de que el problema es formalmente independiente de ZFC o verdadero pero no demostrable.

Es concebible que la autorreferencialidad del problema pueda plantear un desafío más profundo en las pruebas de independencia, por ejemplo, si las declaraciones sobre su capacidad de prueba no son demostrables o de otra manera imposibles de razonar.

Supongamos que llamamos a un teorema T Godel_0 si es verdadero pero no demostrable en el sentido del teorema de Godel. Llame a T Godel_1 si la afirmación "T is Godel_0" es verdadera, pero no se puede probar. Llame a T Godel_i si la afirmación "T es Godel _ {(i-1)} es verdadera.

Sabemos que existen declaraciones Godel_0, y se han encontrado algunos ejemplos "en la naturaleza" que no están construidos explícitamente para este propósito, como en este artículo .

Mi pregunta es: ¿existe alguna declaración de Godel_1 o superior? ¿Son tales declaraciones una consecuencia natural del teorema de Godel?

¿Qué pasa con una afirmación sobre la cual no podemos probar absolutamente nada: es decir, una para la cual por cada k > 0, T es Godel_k?

Puedo hacer una pregunta análoga para la independencia formal, aunque sospecho que la respuesta es "no" allí.

Para volver a la pregunta P vs. NP, permítanme preguntar si hay incluso una pista de que el teorema de Godel es relevante para las preguntas de separabilidad de clases. ¿Se han identificado afirmaciones verdaderas pero no demostrables con respecto a las clases de complejidad, más allá, por supuesto, de la conexión obvia entre detener el problema y el teorema de Godel?

Como otros han señalado, existen ciertas dificultades técnicas con la declaración de su pregunta. Para enderezarlos, comencemos evitando el uso del término "no demostrable" sin calificación, y seamos explícitos acerca de qué conjunto de axiomas se supone que su declaración T no se puede probar. Por ejemplo, supongamos que nos interesan las declaraciones T que no son demostrables desde PA, los axiomas de la aritmética de Peano de primer orden.

La primera molestia es que "T es verdadero" no se puede expresar en el lenguaje aritmético de primer orden, según el teorema de Tarski. Podríamos evitar esto trabajando en una metateoría que sea lo suficientemente poderosa como para definir la verdad de una declaración aritmética, pero creo que para sus propósitos, esta es una ruta innecesariamente complicada. Creo que no estás tan interesado en la verdad per se sino en la demostrabilidad. Es decir, sospecho que estaría satisfecho con definir T como Godel_0 si T es verdadero pero no demostrable en PA, y definir T como Godel_1 si T no es demostrable en PA pero "T es no demostrable en PA" no es demostrable en PA, y definir T como Godel_2 si T no es demostrable en PA y "T no es demostrable en PA" no es demostrable en PA pero "'T es no demostrable en PA' no es demostrable en PA" no es demostrable en PA, etc.

Esto es suficiente para hacer su pregunta precisa, pero desafortunadamente hay una solución bastante trivial. Tome T = "PA es consistente". Entonces T es verdadero porque PA es consistente, y T no es demostrable en PA por el segundo teorema de incompletitud de Goedel. Además, "T no se puede probar en PA" tampoco se puede probar en PA por una razón algo tonta: cualquier declaración de la forma "X es no demostrable en PA" no se puede probar en PA porque "X no se puede probar en PA" implica trivialmente "PA es consistente "(ya que los sistemas inconsistentes prueban todo ). Entonces T es Godel_n para todo n, pero no creo que esto realmente llegue a su pregunta prevista.

Podríamos intentar "parchear" su pregunta para evitar tales trivialidades, pero en su lugar permítanme tratar de abordar lo que creo que es su pregunta prevista. Tácitamente, creo que estás combinando la fuerza lógica necesaria para demostrar un teorema con la dificultad psicológica.de probarlo. Es decir, usted interpreta un resultado de la forma "T no es demostrable en X" como decir que T está de alguna manera más allá de nuestra capacidad de comprensión. Existen estas conjeturas monstruosas por ahí, y los humanos insignificantes rompen látigos PA o látigos ZFC o lo que sea que tengan con esas bestias feroces, tratando de domesticarlos. Pero no creo que "T no sea demostrable en X" deba interpretarse como "T es imposible razonar". Más bien, solo mide una propiedad técnica particular sobre T, es decir, su fuerza lógica. Entonces, si estás tratando de encontrar el super monstruo, no creo que encontrar algo que no solo sea no demostrable, sino cuya imposibilidad de probar no sea demostrable, etc., es la dirección correcta.

Finalmente, con respecto a su pregunta acerca de si la improbabilidad parece estar relacionada con la separabilidad de las clases de complejidad, existen algunas conexiones entre la intractabilidad computacional y la no demostrabilidad en ciertos sistemas de aritmética acotada. Algo de esto se menciona en el artículo de Aaronson que usted cita; vea también el libro de Cook y Nguyen Fundamentos lógicos de la complejidad de la prueba .

No estoy tan seguro sobre la definición de Godel_1. ¿Puedes intentar formalizarlo un poco más?

¿Cómo se puede codificar la fórmula "T es Godel_0"? Para eso necesitará codificar de alguna manera que "T es semánticamente verdadero" sin referirse a la noción de prueba. Como puedes hacer eso?

Las declaraciones Godel_n existen para cada n. Quizás te interese The Unprovability of Consistency, un libro de George Boolos. Define una lógica modal en la que Box significa "es demostrable", Diamond significa "es consistente" y luego investiga el comportamiento de las oraciones tipo Godel. (También escribió un libro de seguimiento, The Logic of Provability).