Ecuaciones maestras y formulario de suma de operador

Soy más un tipo de óptica cuántica que un tipo de información cuántica, y trato principalmente en ecuaciones maestras. Estoy interesado en la forma de suma de operador, y me gustaría derivar los errores en esta forma para un pequeño sistema cuántico que estoy simulando.

El problema: el sistema cuántico es impulsado por un campo externo (clásico) modelado con una función sinusoidal, y las tasas de amortiguación son bajas, por lo que no puedo hacer una aproximación de onda giratoria para eliminar esta dependencia del tiempo. Dado que debo resolver la ecuación maestra numéricamente por integración, y el resultado de cada integración en el tiempo no es información suficiente para resolver estos errores, y necesito hacer algún trabajo para recuperar la matriz superoperadora que ha operado en una densidad vectorizada matriz. es decir, alimento la ecuación maestra con una matriz de densidad vectorizada con una sola entrada de 1 y el resto cero, y construyo la matriz de esa manera para un tiempo particular τ . ¿Estoy en el camino correcto aquí (verificación de cordura)? Más explícitamente, si v e c$t$$\tau$ es la forma vectorizada (por lo que es un vector de columna) de una matriz de densidad con una sola entrada de 1 en la posición i , j , en t = 0 que se ha desarrollado en el tiempo τ , luego una matriz tomar la forma vectorial de la matriz de densidad de t = 0 a t = τ se da como M = ∑ i , j v e c ( ρ i j , t = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ .$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

La pregunta: dado este superoperador que hace $\mathbf{M}$ , ¿cómo puedo obtener operadores de Krauss para el operador-suma equivalente de M que están en una forma útil? es decir, el sistema en cuestión es un qubit o un qutrit y otro qubit o qutrit. Me gustaría poder hacer la suma del operador en forma de productos tensoriales de matrices de espín en cada canal si es posible.$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

Pregunta secundaria: ¿Es una matriz Choi?$\mathbf{M}$

Nota final: otorgué la aceptación a Pinja, ya que usé el papel que Pinja sugirió. He proporcionado una respuesta a mí mismo a continuación que completa los detalles.

Trabajé en un problema muy similar en mi tesis de maestría, en la que estudié la dinámica no markoviana de un qubit conducido en un entorno disipativo. Me interesaba comprobar que la ecuación maestra que obtuve era completamente positiva, pero este es solo un lado de su problema. La pregunta resultó ser muy trivial si no se realiza ningún RWA, pero pude obtener algunos resultados usando la Ref. [ J Mod. Optar. 54, 1695 (2007) ] y aprovechando el hecho de que el qubit está débilmente acoplado al medio ambiente. Golpearé mi tambor y también daré la referencia. a un artículo donde presento algunos de estos resultados, [P. Haikka y S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , puede resultarle útil.

Las referencias dadas en respuesta a la mecánica cuántica como un proceso de Markov  , en particular las notas en línea de Carlton Caves " Mapas completamente positivos, mapas positivos y la forma de Lindblad ", analizan ideas físicas y herramientas matemáticas que son útiles para responder la pregunta.

$M$$M$$M$$M$ se da numéricamente en su totalidad.

$M$

Si preguntas como estas pudieran responderse eficientemente "girando una manivela algorítmica", ¡entonces la física cuántica sería un tema mucho menos interesante! :)

Creo que lo que podrías estar buscando es esto: The Real Density Matrix . Le proporciona una receta para convertir entre varias representaciones de superoperadores (incluido el uso de una base de producto tensorial de Paulis). Un experimento detallado de tomografía de proceso cuántico que utiliza los resultados está aquí: Tomografía de proceso cuántico de la transformada cuántica de Fourier . En términos más generales, Havel también ha derivado algoritmos para convertir a representaciones mínimas de Kraus aquí: Procedimientos para la conversión entre representaciones de Lindblad, Kraus y Matrix de semigrupos dinámicos cuánticos .

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

Como señaló Pinja, un artículo de Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) ha sido especialmente útil. El documento entra en muchos detalles, y finalmente me senté hoy para echarle un vistazo. Como problema de ejemplo, elegí dos qubits con una interacción de intercambio para verificar esto, que es una versión mínima de lo que estoy considerando. Para comenzar, la ecuación maestra viene dada por

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

Si estamos tratando con la ecuación maestra como una matriz que actúa sobre un operador de densidad vectorizada como se discutió en la pregunta, entonces esto puede expresarse como

lo que permite que L se derive en una sola ecuación matricial, pero eso se está alejando un poco del tema.

$L$$F$$\phi$

$F$$S$

Finalmente, la parte maravillosa.

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Esto funciona en el caso independiente del tiempo para los abandonos y los abandonos como se esperaba. Necesito verificar que esto funcione en el caso de la dependencia del tiempo.