Inserciones de distorsión promedio

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Consideremos dos espacios métricos y , y una incrustación . Las incrustaciones tradicionales de espacio métrico miden la calidad de como la peor relación de la distancia original a la final: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Sin embargo, existen otras medidas de calidad: Dhamdhere et al estudian la distorsión "promedio":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Sin embargo, la medida que me interesa aquí es la utilizada por métodos similares a MDS, que analiza el error aditivo promedio :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Aunque los métodos similares a MDS se estudian ampliamente fuera de la comunidad de teoría CS, conozco solo un artículo ( por Dhamdhere et al ) que examina la optimización bajo esta medida, y eso también por el problema limitado de incrustar en la línea ( ) (nota al margen: la tesis de maestría de Tasos Sidiropoulos en 2005 tiene una buena revisión de trabajos anteriores) $Y = \mathbb{R}$

¿Hay algún trabajo más reciente que la gente conozca con respecto al análisis de calidad riguroso bajo esta noción de error? Si bien estos problemas son generalmente NP-hard, lo que más me interesa son aproximaciones de cualquier tipo.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
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3

$\epsilon^2$

$O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

$\log^c(n)$

— Moritz
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Esa es una buena sugerencia. Definitivamente analizaré el trabajo de etiquetado métrico. Se sabe que incluso incrustar en la línea es MAX SNP-hard, pero sería interesante (aunque decepcionante) ver resultados más sólidos.

— Suresh Venkat

2

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

$\ell_2$

— aditya
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Buen punto. Cambié mi respuesta.

— Moritz

ϵ

$\epsilon$

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$ . ¿Podemos obtener tal inserción para, por ejemplo, expansores (grado constante)? (¿o probar que no es posible?)

— aditya