Contando el número de regiones gruesas que se superponen a un cuadrado

Sea una unidad cuadrada. En función de , ¿cuál es el número máximo de regiones grasas disgregadas en pares con un diámetro de al menos 1 que puede intersecar ? $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

A continuación, damos una figura que muestra que para , el número máximo es 7. ¿Qué pasa con ? $\beta=1$ $\beta = 2, 3, \ldots, n$

Recordemos la definición de grasa para regiones en el plano. Dada una región , deje que el círculo de radio sea el círculo más grande contenido en , y deje que el círculo $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ de radio sea el círculo más pequeño que contiene . Lagordurade viene dada por $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ , y decimos queesgrasa, para $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ . $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Por ejemplo, si , entonces las regiones son círculos unitarios, y hay 7 círculos con un diámetro de al menos 1 que pueden superponersesin superponerse entre sí. En la figura a continuación, hemos representado un cuadrado unitario y 7 círculos unitarios que se superponen al cuadrado. $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ $S$

círculos superpuestos

cg.comp-geom

— Joe
fuente

S

$S$

1

$1$

S

$S$

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$

7

$7$

S

$S$

Su definición de "grueso" es una de las definiciones estándar de "gordo". Supongo que quiere decir "el número máximo de regiones gruesas disjuntas con un diámetro de al menos 1 que puede intersecar S", ya que de lo contrario no hay límite superior. Los círculos

— pequeños

@ Jɛ ﬀ E sí, eso es exactamente lo que estoy tratando de decir. Editaré la pregunta para aclarar.

— Joe

@YixinCao proporcioné una cifra que, con suerte, debería aclarar las cosas.

— Joe

@ Joe Como muestra mi imagen, son posibles siete círculos. El punto es: dos círculos (casi) tangentes a dos puntos opuestos. Mi dibujo siempre es malo, pero espero que el gráfico sea útil.

— Yixin Cao

Creo que el número máximo de regiones grasas disjuntas por pares que se superponen al cuadrado debería estar fuertemente relacionado con el empaque circular.

$\beta=2$

cadena de bolas .

y estos pueden empacarse dentro de la distancia 1 del cuadrado de la unidad, obviamente, mucho más fuerte de lo que los he representado.

embalaje de cadena de bolas

Tenga en cuenta que la región real de la bola y la cadena está definida por el área verde, y el círculo exterior es solo una guía para representar el hecho de que estas regiones tienen gordura 2. De hecho, la parte de la cadena de la región puede "doblarse" para permitir más regiones para empacar.

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Joe
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