Dimensión VC de esferas en 3 dimensiones

Estoy buscando la dimensión VC del siguiente sistema establecido.

Universo tal que U ⊆ R 3 . En el sistema de conjuntos R, cada conjunto S ∈ R corresponde a una esfera en R 3 de modo que el conjunto S contiene un elemento en U si y solo si la esfera correspondiente lo contiene en R 3 .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Detalles que ya sé.

1. La dimensión VC es al menos 4. Esto se debe a que si son 4 esquinas de un tetraedro, entonces R puede romperlo$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. La dimensión VC es casi 5. Esto se debe a que el sistema establecido puede integrarse en con esferas en R 3 correspondientes a hiperplanos en R 4 . Se sabe que los hiperplanos en R d tienen dimensión VC d + 1 .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Aquí hay un argumento fácil:

Suponga que hay una serie de 5 puntos que pueden ser destrozados por las bolas. Así que para cualquier conjunto S ⊆ U , existe una bola B st B ∩ U = S y una bola B ' st B ' ∩ U = U ∖ S . Por lo tanto, B ∩ B ' no contiene puntos de U . Si B ∩ B ′ = ∅ , B y B $U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$Se puede separar por un plano. De lo contrario, la intersección de las superficies de y B ' es un círculo. El plano en el que se encuentra el círculo separa los S de U ∖ S . Por lo tanto, U puede ser destruido por medios espacios, una contradicción.$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$

El mismo argumento en una dimensión superior muestra que la dimensión VC de las bolas es igual a la dimensión VC de los medios espacios.

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